向量減法計算器
輸入兩三維向量，計算向量差。a=(5,7,9), b=(1,2,3) → a-b=(4,5,6)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量減法 a-b 等於 a+(-b)：將 b 反向後與 a 相加。分量計算：a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz)。大小 |a-b|=√(|a|²+|b|²-2a·b)（注意負號，比加法少一個點積項符號）。物理意義：向量差表示「相對」關係。相對位置 r_AB=r_A-r_B（A 相對 B 的位置）、相對速度 v_AB=v_A-v_B。位移是位置向量差 Δr=r_f-r_i。應用：(1) 相對位置/速度（導航、追趕）；(2) 位移（位置變化）；(3) 電場差、力差；(4) 誤差向量（測量值-真值）；(5) 結構變形（變形後-變形前）。
計算公式
分量減法：a-b = (ax-bx, ay-by, az-bz)
等價定義：a-b = a + (-b)
大小：|a-b|² = |a|² + |b|² - 2a·b
相對位置：r_AB = r_A - r_B
位移：Δr = r_f - r_i
$$\mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x - b_x, \; a_y - b_y, \; a_z - b_z), \quad |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 系統計算向量差的分量與大小。
常見向量減法
| a | b | a-b | |a-b| | 意義 |
|---|---|---|---|---|
| (5,0) | (3,0) | (2,0) | 2 | 同向相減 |
| (5,0) | (0,5) | (5,-5) | 7.07 | 垂直 |
| (3,3) | (3,3) | (0,0) | 0 | 相同向量 |
| (1,1) | (-1,-1) | (2,2) | 2.83 | 反向 |
| (5,7,9) | (1,2,3) | (4,5,6) | 8.77 | 三維 |
相同向量相減為零。a-b=-(b-a)。
理財情境案例
相對位置與導航
兩車位置：r_A=(1000,2000)、r_B=(3000,1000) → r_AB=r_A-r_B=(-2000,1000)m。A 相對 B 在西南方向。距離 √(4000000+1000000)=2236m。
GPS 導航：目的地 (5000,8000)、目前 (2000,3000) → 剩餘位移 (3000,5000)、距離 5831m、方向 59°。導航 app 計算向量差給出方向。
香港地鐵：中環站 (0,0)、尖沙咀站 (2000,-3000) → 位移向量、距離 3606m。直線距離vs實際路徑不同。
位移與誤差分析
位移：初位置 (3,4)、末位置 (8,16) → 位移 (5,12)、大小 13m。3-4-5 三角推廣（5-12-13）。位移與路徑不同——只看起點終點。
測量誤差：測量值 (10.2, 5.1)、真值 (10, 5) → 誤差向量 (0.2, 0.1)、大小 0.224。量化測量精度。
結構變形：負載後位置 (1.002, 0.999)、原位置 (1,1) → 變形 (0.002,-0.001)、大小 0.0022m=2.2mm。工程監測。
常見問題
向量減法和加法有何關係？
a-b=a+(-b)：減法是加法的特例（加上反向向量）。分量各自相減 ax-bx。大小公式 |a-b|²=|a|²+|b|²-2a·b（注意負號），與 |a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b 對稱，僅點積項符號不同。
a-b 為什麼表示相對向量？
a-b 表示「a 相對 b 的位置/速度」。例如 A 在 (5,0)、B 在 (3,0) → A 相對 B 在 (2,0)（A 在 B 右方 2 單位）。物理：相對速度 v_AB=v_A-v_B、相對位置 r_AB=r_A-r_B。直覺：你的位置-別人位置=你相對別人的位置。
向量減法和距離有何關係？
兩點距離=位置向量差的大小。d=|r_A-r_B|=√((xA-xB)²+(yA-yB)²+(zA-zB)²)。先算向量差（分量相減）、再算大小（畢氏定理）。GPS 距離、直線距離都這樣算。
a-b = -(b-a) 為什麼成立？
分量：(ax-bx, ay-by) = -((bx-ax), (by-ay)) = (ax-bx, ay-by)。對稱性：A 相對 B 的位置 = -(B 相對 A 的位置)。如果你在我東邊、我就在你西邊。大小相同 |a-b|=|b-a|，方向相反。
位移和路徑長度有何區別？
位移=位置向量差（起點到終點直線向量），大小是直線距離。路徑長度=實際走過的軌跡長度。繞圈一周位移為零、路徑=周長。香港跑步徑一圈 400m 位移 0、路徑 400m。位移是向量、路徑是純量。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz)。相對向量、位移。|a-b|²=|a|²+|b|²-2a·b。導航、誤差分析應用。