向量點積計算器
輸入兩三維向量，計算點積與夾角。a=(1,2,3), b=(4,5,6) → a·b=32。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量點積（內積、scalar product）a·b 是純量（數），定義為 a·b = ax·bx + ay·by + az·bz = |a|·|b|·cosθ（θ 為兩向量夾角）。性質：交換律 a·b=b·a、分配律 a·(b+c)=a·b+a·c、a·a=|a|²。垂直向量點積為 0（cos90°=0）、平行向量點積最大（cos0°=1）。物理意義：點積提取「平行分量」。作功 W=F·d（力在位移方向的投影乘位移）、功率 P=F·v、磁通量 Φ=B·A。應用：(1) 作功與能量（力與位移的點積）；(2) 投影（a 在 b 方向的分量 = a·b/|b|）；(3) 夾角計算 cosθ=a·b/(|a||b|)；(4) 正交判斷（點積為零即垂直）；(5) 電磁學（坡印廷向量、磁通量）。
計算公式
點積：a·b = ax·bx + ay·by + az·bz
幾何定義：a·b = |a|·|b|·cosθ
夾角：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
投影：proj_b a = (a·b) / |b|
正交條件：a·b = 0
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 系統計算點積、向量大小與夾角。
常見點積
| a | b | a·b | θ | 意義 |
|---|---|---|---|---|
| (1,0,0) | (1,0,0) | 1 | 0° | 平行 |
| (1,0,0) | (0,1,0) | 0 | 90° | 垂直 |
| (1,0,0) | (-1,0,0) | -1 | 180° | 反平行 |
| (3,4,0) | (3,4,0) | 25 | 0° | 自點積 |
| (1,2,3) | (4,5,6) | 32 | ≈7.4° | 小夾角 |
點積為零即垂直。同向量點積=模平方。
理財情境案例
作功與功率
作功：F=(100,0,0)N、d=(3,2,0)m → W=F·d=100×3+0×2=300J。力在位移方向的分量乘位移。僅平行分量作功。
功率：F=(500,0,0)N、v=(20,5,0)m/s → P=F·v=500×20=10000W=10kW。汽車引擎輸出。
斜力作功：F=100N 與水平 30°、d=5m → F_horizontal=100cos30°=86.6N、W=86.6×5=433J。點積自動計算投影。
投影與正交判斷
投影：a=(3,4,0) 在 b=(1,0,0) 方向的投影= a·b/|b|=3/1=3。即 a 的 x 分量。
正交判斷：兩向量點積為零即垂直。電磁波 E·B=0（電場垂直磁場）。座標軸 i·j=0。
香港 GPS 座標：轉換經緯度為三維向量後用點積計算距離。球面距離用 d=R·arccos(a·b)。
常見問題
點積為什麼是純量？
點積結果只有大小、沒有方向（純量）。幾何意義：|a||b|cosθ 是一個數。雖然兩個向量輸入，但結果是投影長度乘另一向量長度——都是純量。對比叉積 a×b 是向量（有方向）。
點積為零代表什麼？
a·b=0 意味 cosθ=0 即 θ=90°——兩向量垂直（正交）。條件：ax·bx+ay·by+az·bz=0。物理：垂直力不作功、垂直電場磁場不干涉、正交座標軸。零向量與任何向量點積都為零。
點積和叉積有何區別？
點積 a·b 是純量、|a||b|cosθ、提取平行分量、交換律成立。叉積 a×b 是向量、|a||b|sinθ、垂直兩者、反交換律。點積用於作功投影、叉積用於力矩磁力。兩者互補描述向量關係。
如何用點積求夾角？
cosθ = a·b/(|a||b|)。θ = arccos(a·b/(|a||b|))。先算點積（分量乘積之和）、再算兩向量大小、相除得 cosθ、反餘弦得 θ。二維三維通用。誤差：浮點精度影響 cosθ 邊界（±1）。
點積在機器學習中有何應用？
餘弦相似度 = a·b/(|a||b|)=cosθ，衡量向量方向相似性（不用大小）。用於推薦系統、文本相似、圖像檢索。θ→0 高度相似、θ→90° 無關、θ→180° 相反。香港搜尋引擎、推薦算法都用此原理。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a·b=|a||b|cosθ。分量乘積之和。作功、投影、正交判斷。交換律、分配律。