向量叉積計算器
輸入兩三維向量，計算叉積。a=(1,0,0), b=(0,1,0) → a×b=(0,0,1)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量叉積（外積）a×b 是向量運算，結果為向量、方向垂直於 a 與 b（右手定則）、大小 |a||b|sinθ（θ 為兩向量夾角）。分量計算：a×b = (ay·bz - az·by, az·bx - ax·bz, ax·by - ay·bx)。性質：a×b ≠ b×a（反交換律 a×b = -b×a）、a×a=0（平行向量叉積為零）、|a×b|=平行四邊形面積。物理意義：叉積描述「垂直」關係。力矩 τ=r×F（位置叉力）、磁力 F=qv×B（速度叉磁場）、角動量 L=r×p（位置叉動量）。應用：(1) 力矩（扳手、門把）；(2) 磁力（粒子偏轉、馬達）；(3) 平行四邊形/三角形面積；(4) 角動量（陀螺、行星）；(5) 剛體轉動（角速度叉位置=線速度）。
計算公式
叉積：a×b = (ay·bz - az·by, az·bx - ax·bz, ax·by - ay·bx)
大小：|a×b| = |a|·|b|·sinθ
方向：右手定則（a 轉向 b、拇指為叉積方向）
反交換律：a×b = -(b×a)
面積：|a×b| = 平行四邊形面積
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}, \quad |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 系統計算叉積分量與大小。
常見叉積
| a | b | a×b | |a×b| | 意義 |
|---|---|---|---|---|
| (1,0,0) | (0,1,0) | (0,0,1) | 1 | i×j=k |
| (0,1,0) | (0,0,1) | (1,0,0) | 1 | j×k=i |
| (0,0,1) | (1,0,0) | (0,1,0) | 1 | k×i=j |
| (1,0,0) | (1,0,0) | (0,0,0) | 0 | 平行 |
| (3,0,0) | (0,4,0) | (0,0,12) | 12 | 面積12 |
右手座標系：i×j=k、j×k=i、k×i=j。循環。
理財情境案例
力矩與磁力
力矩：r=(0.5,0,0)m、F=(0,100,0)N → τ=r×F=(0,0,50)N·m。繞 z 軸 50N·m 扭力。扳手 0.5m 推 100N 鬆螺母。
磁力：v=(100,0,0)m/s、B=(0,0,1)T、q=1C → F=qv×B=(0,100,0)N。正電荷向 y 偏轉。質譜儀、迴旋加速器原理。
馬達：電流在磁場受 F=IL×B 力、繞軸產生扭矩。叉積決定旋轉方向。
面積與角動量
三角形面積：a=(3,0)、b=(0,4) → 面積=|a×b|/2=6。任意多邊形可用叉積分解計算面積（測量員、CAD）。
角動量：r=(2,0,0)、p=(0,3,0) → L=r×p=(0,0,6)kg·m²/s。繞 z 軸轉動。陀螺、行星軌道角動量守恆。
剛體：v=ω×r。ω=(0,0,10)rad/s、r=(1,0,0) → v=(0,10,0)m/s。角速度叉位置=線速度。方向決定旋轉。
常見問題
叉積為什麼用右手定則？
右手定則是約定：右手四指從 a 轉向 b（小於 180°）、拇指指向叉積方向。這是國際標準（右手座標系：i×j=k）。若用左手定則會得相反方向、故需統一。物理上叉積描述真實方向（如力矩、磁力），右手定則與實驗一致。
叉積和點積有何區別？
叉積 a×b 是向量（垂直兩者）、大小 |a||b|sinθ。點積 a·b 是純量（數）、大小 |a||b|cosθ。叉積描述垂直分量（最大當 90°）、點積描述平行分量（最大當 0°）。叉積用於力矩磁力、點積用於作功投影。
為什麼平行向量叉積為零？
|a×b|=|a||b|sinθ。平行 θ=0° 或 180° → sinθ=0 → 叉積為零。物理：同向力無力矩（力作用線過支點）。同向速度無磁力（v 與 B 平行不偏轉）。
叉積為什麼不滿足交換律？
a×b=-(b×a) 反交換律。方向相反（右手定則 a 轉 b vs b 轉 a）。但大小相同 |a×b|=|b×a|。例如 i×j=k 但 j×i=-k。這是叉積與點積 a·b=b·a 的關鍵區別。
叉積在二維如何計算？
二維 a=(ax,ay,0)、b=(bx,by,0) → a×b=(0,0,ax·by-ay·bx)。z 分量即「帶號面積」。ax·by-ay·bx>0 逆時針、<0 順時針、=0 共線。計算多邊形面積用鞋帶公式（叉積求和）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a×b 向量積。右手定則。力矩、磁力、面積應用。