磁力矩計算器
輸入匝數、電流、面積、磁場與夾角，計算載流線圈磁力矩 τ=N·I·A·B·sin(θ)。N=100、I=0.5、A=0.01、B=0.5、θ=90° → τ≈0.25 N·m。
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計算結果
重點速覽：磁力矩（Magnetic torque）：載流線圈在均勻磁場 B 中所受力矩 τ=N·I·A·B·sin(θ)=μ×B，其中 N 為匝數、I 為電流、A 為線圈面積、B 為磁場、θ 為線圈法線 n 與磁場 B 的夾角，方向由右手定則決定（力圖使 n 轉向 B 方向）。磁矩 μ=N·I·A 為線圈電磁性質，方向為法線方向（右手定則）。θ=90° 時力矩最大 τ_max=μ·B；θ=0° 或 180° 時力矩為零（穩定或不穩定平衡）。歷史：安培 1820 年發現載流線圈在磁場中受力與力矩；達松伐耳 設計動圈式電流計。經典例：N=100、I=0.5 A、A=0.01 m²、B=0.5 T、θ=90° → μ=0.5 A·m²，τ=0.5×0.5×1=0.25 N·m；地球磁場 5e-5 T 中 1 m² 線圈 1 A → τ=5e-5 N·m。應用：(1) 直流電動機——電樞線圈力矩；(2) 動圈式電流計——達松伐耳裝置；(3) 揚聲器——音圈在磁場中受力推動紙盆；(4) 磁懸浮——陀螺儀穩定；(5) 磁共振——質子磁矩在磁場中進動。
計算公式
磁力矩：τ = N·I·A·B·sin(θ) = μ × B
磁矩：μ = N·I·A（A·m²，方向由右手定則）
最大力矩：τ_max = μ·B（θ = 90° 時）
線圈電位能：U = -μ·B·cos(θ)
力方向：F = I·L × B（每段導線所受力）
$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} = NIA B \sin\theta, \quad \boldsymbol{\mu} = NIA\,\hat{\mathbf{n}}$$使用說明
- 輸入匝數 N、電流 I（A）、線圈面積 A（m²）、磁場 B（T）、夾角 θ（°）。
- 系統計算 τ=N·I·A·B·sin(θ)（N·m 與 mN·m）與磁矩 μ=N·I·A。
- 常用：N=100、I=0.5、A=0.01、B=0.5、θ=90° → τ=0.25 N·m、μ=0.5 A·m²。
常見載流線圈磁力矩（磁力矩）
| 元件 | 磁矩 μ (A·m²) | 磁場 B (T) | 最大力矩 τ (N·m) | 應用 |
|---|---|---|---|---|
| 達松伐耳電流計 | 0.001 | 0.5 | 0.0005 | 測量電流 |
| 直流馬達電樞 | 0.5 | 1 | 0.5 | 電動機 |
| 揚聲器音圈 | 0.05 | 1.5 | 0.075 | 音響 |
| 大型馬達 | 5 | 1.5 | 7.5 | 工業電機 |
| MRI 線圈 | 0.1 | 3 | 0.3 | 醫學影像 |
| 地球磁場線圈 | 1 | 5e-5 | 5e-5 | 指南針 |
| 磁懸浮陀螺 | 0.01 | 0.5 | 0.005 | 玩具 |
τ_max=μ·B（θ=90°）。電流計 0.5 mN·m、電動機 0.5-7.5 N·m、揚聲器 75 mN·m。地球磁場中 1 A·m² 磁矩力矩僅 5e-5 N·m。
理財情境案例
達松伐耳電流計設計
電流計線圈 100 匝、面積 1 cm²、磁場 0.5 T、滿刻度電流 1 mA → μ=100×0.001×0.0001=1e-5 A·m²。
θ=90° 最大力矩 τ=1e-5×0.5=5e-6 N·m=5 μN·m，配合游絲扭轉常數 5e-6 N·m/rad → 滿刻度偏轉 1 rad。
電流計靈敏度 1 μA/mm：磁場增強至 1 T、匝數 200 → μ 增 4 倍，可測 μA 級電流。
直流電動機啟動力矩
小型直流馬達電樞 200 匝、面積 50 cm²、磁場 1 T、啟動電流 5 A、θ=90°。
μ=200×5×0.005=5 A·m²，τ=5×1×1=5 N·m，符合 12V 電動機啟動力矩 3-7 N·m 範圍。
換向器每半圈切換電流方向，保持 θ≈90° 持續最大力矩。馬達功率 P=τ·ω=5×314=1570 W（3000 rpm）。
常見問題
為什麼 θ=90° 時力矩最大？
τ=μ·B·sin(θ)，θ 為磁矩與磁場夾角。θ=90° 時 sin(θ)=1，力矩最大 τ_max=μ·B。θ=0° 時磁矩與磁場平行，sin(0)=0 力矩為零（穩定平衡）；θ=180° 時反平行，sin(180)=0 力矩為零（不穩定平衡，輕微擾動即翻轉）。電動機換向器在 θ≈0° 時切換電流方向，維持力矩方向一致。
磁矩 μ=N·I·A 的方向如何確定？
磁矩方向為線圈法線方向，由右手定則確定：右手四指沿電流方向彎曲，拇指即為磁矩方向。對 N 匝線圈 μ=N·I·A 為大小，方向為單位法向量 n̂。磁矩是向量，與電流方向構成右手定則。地球磁場中指南針磁矩指向北方，與磁場方向一致時為穩定平衡。
電動機換向器如何維持持續旋轉？
直流電動機電樞線圈在磁場中轉動，力矩 τ=μ·B·sin(θ)。線圈平面與磁場平行時（θ=90°）力矩最大，轉過半圈後（θ=270°）力矩反向會減速。換向器（commutator）每半圈切換電流方向，使磁矩方向反轉，θ 始終在 0°~180° 之間維持同向力矩。實際電動機用多組線圈分佈繞製，力矩波動小、平均力矩大。
為什麼揚聲器音圈在磁場中能推動紙盆？
揚聲器音圈為載流線圈，在永磁體徑向磁場中受力 F=I·L×B（與磁力矩不同，這是磁力）。徑向磁場使力方向始終沿軸向，推動紙盆前後運動產生聲波。音圈匝數 50-100、磁場 1-2 T、電流 0.1-10 A → 推力 0.1-10 N，推動 10-50 g 紙盆加速度 2-100 m/s²。揚聲器效率 1-5%，磁力越大效率越高。
地球磁場中的指南針力矩有多大？
地球磁場 B≈5e-5 T，指南針磁矩 μ≈0.01 A·m²（小磁鐵） → τ_max=5e-7 N·m，極小但足以克服摩擦使磁針轉向北方。指南針懸掛摩擦極小（頂針支撑），5e-7 N·m 力矩即可轉動。地球磁場強度因地理位置不同：赤道 3e-5 T、極區 6e-5 T；磁傾角影響指南針水平指向。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。τ=N·I·A·B·sin(θ)=μ×B，磁矩 μ=N·I·A。N=100、I=0.5、A=0.01、B=0.5、θ=90° → τ=0.25 N·m、μ=0.5 A·m²。θ=90° 力矩最大；θ=0°/180° 為零（平衡）。電動機換向器維持最大力矩方向。