霍爾係數計算器
輸入霍爾電壓 V_H、電流 I、磁場 B、樣品厚度 t，計算霍爾係數 R_H=V_H·t/(I·B) 與載子密度 n=1/(e·R_H)。V_H=1e-5V, I=10A, B=0.1T, t=1e-4m → R_H=1e-9 m³/C, n≈6.24e27 1/m³。
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計算結果
重點速覽：霍爾係數（Hall coefficient，R_H）：物質中載子濃度的特徵量，由霍爾效應定義 R_H=V_H·t/(I·B)，單位 m³/C。物理機制：通電流 I 的導體置於磁場 B 中，載子受洛倫茲力 F=qv×B 偏轉累積於一側，形成橫向電場 E_H 直至電力與磁力平衡 qE_H=qv·B。導出 V_H=v·B·w（w 為寬度），結合 v=I/(n·q·w·t) 得 V_H=I·B/(n·q·t)，故 R_H=V_H·t/(I·B)=1/(n·q)。R_H 符號決定載子類型：R_H<0 為電子（金屬、N 型半導體），R_H>0 為電洞（P 型半導體）。載子密度 n=1/(|R_H|·e)，e=1.602×10⁻¹⁹ C。典型值：銅 R_H=−5.4×10⁻¹¹ m³/C（n≈1.1×10²⁹ 1/m³）；矽 N 型 1e-4 Ω·cm 摻雜 R_H≈−1e-3 m³/C（n≈6e21）；銦銻化合物半導體 R_H≈−1e-4。多能帶物質（如過渡金屬）R_H 不能簡單換算 n。經典例：V_H=1e-5V、I=10A、B=0.1T、t=1e-4m → R_H=1e-5×1e-4/(10×0.1)=1e-9 m³/C，n=1/(1e-9×1.602e-19)=6.24×10²⁷ 1/m³；電流密度（單位寬度）J=I/t=10/1e-4=1e5 A/m²。歷史：霍爾 1879 年於約翰霍普金斯大學發現；當時尚未發現電子（1897 年湯姆森）。應用：(1) 半導體材料分析——測摻雜濃度與型號；(2) 霍爾感測器——非接觸電流計、馬達位置偵測、汽車點火；(3) 磁通計——磁場測量；(4) 量子霍爾效應——電阻標準（克里欽常數 R_K=h/e²≈25812.8 Ω）；(5) 等離子體診斷——核融合反應爐。
計算公式
霍爾係數：R_H = V_H · t / (I · B)
霍爾電壓：V_H = I · B / (n · q · t) = R_H · I · B / t
載子密度：n = 1 / (|R_H| · e)
電流密度（單位寬度）：J = I / t
基本電荷：e = 1.602176634×10⁻¹⁹ C
$$R_H = \frac{V_H \cdot t}{I \cdot B} = \frac{1}{nq}, \quad n = \frac{1}{|R_H| \cdot e}, \quad V_H = \frac{I B}{nqt}$$使用說明
- 輸入霍爾電壓 V_H（V）、電流 I（A）、磁場 B（T）、樣品厚度 t（m）。
- 系統計算 R_H=V_H·t/(I·B)、n=1/(|R_H|·e)、J=I/t。
- 常用：V_H=1e-5, I=10, B=0.1, t=1e-4 → R_H=1e-9 m³/C, n≈6.24e27 1/m³。
常見材料的霍爾係數與載子密度（室溫）
| 材料 | 類別 | R_H (m³/C) | n (1/m³) | V_H at I=1A, B=1T, t=1mm |
|---|---|---|---|---|
| 銅 | 金屬 | -5.4e-11 | 1.15e29 | -5.4e-8 |
| 銀 | 金屬 | -8.9e-11 | 7.01e28 | -8.9e-8 |
| 鋰 | 金屬 | -1.7e-10 | 3.67e28 | -1.7e-7 |
| 鋅 | 金屬 | +3.3e-11 | 1.89e29 | +3.3e-8 |
| 鉍 | 半金屬 | -5.4e-7 | 1.15e25 | -5.4e-4 |
| 矽(N型, 1e15 cm⁻³) | 半導體 | -6.25e-3 | 1.00e21 | -6.25 |
| 矽(P型, 1e16 cm⁻³) | 半導體 | +6.25e-4 | 1.00e22 | +0.625 |
| 砷化鎵(N型) | 半導體 | -1.0e-4 | 6.24e22 | -0.1 |
| 銻化銦 | 半導體 | -3.8e-4 | 1.64e22 | -0.38 |
| 石墨烯 | 2D材料 | -1.0e-8 | 6.24e26 | -1.0e-5 |
R_H 符號決定載子類型：負為電子（N型）、正為電洞（P型）。鋅為例外（雙能帶載子），R_H 符號與單一電子模型不符。e=1.602×10⁻¹⁹ C。
理財情境案例
半導體晶圓摻雜濃度量測
矽晶圓霍爾量測：切 5×5mm 樣品厚 0.5mm，I=1mA、B=0.5T、t=0.5mm，測得 V_H=−0.625 mV → R_H=−0.625e-3×0.5e-3/(1e-3×0.5)=−6.25e-4 m³/C。
n=1/(6.25e-4×1.602e-19)=1.0×10²² 1/m³=1.0×10¹⁶ cm⁻³，對應 N 型磷摻雜電阻率約 0.5 Ω·cm。
整合電導率 σ 得載子遷移率 μ=σ·R_H=200×6.25e-4=0.125 m²/(V·s)。香港微電子實驗室以此品控半導體元件摻雜均勻度。
電動車無刷直流馬達位置偵測
電動車馬達需精確知道轉子磁極位置以控制相位電流。霍爾感測器安裝於定子，偵測轉子永磁鐵磁場變化。
馬達磁鐵 B=0.3T、霍爾元件靈敏度 1e-4 V/T（銻化銦）→ V_H≈3e-5 V，放大 1000 倍輸出 30mV 脈衝訊號。
三個霍爾感測器間隔 120° 安裝，輸出三相脈衝編碼轉子位置，控制演算法切換電流方向實現連續旋轉。香港電動巴士 200kW 馬達採用此方案達 95% 效率。
常見問題
為什麼 R_H 符號能決定載子類型？
霍爾效應中載子受洛倫茲力 F=qv×B 偏轉，偏轉方向取決於電荷符號 q。電子（q=−e）與電洞（q=+e）在相同電流方向下運動方向相反，受磁力偏轉方向相同，故累積電荷相反，產生相反符號的 V_H 與 R_H。測 R_H 符號即可判別半導體為 N 型或 P 型，這是判別載子類型最直接的方法。
為什麼金屬 R_H 與簡單模型不符？
簡單自由電子模型預測 R_H=−1/(n·e)，但許多金屬（鋅、鉛、鐵）R_H 為正或偏離預測。原因為金屬有多個費米面能帶，電子與電洞同時貢獻導電，需用雙帶模型 R_H=(p·μ_p²−n·μ_n²)/(e·(p·μ_p+n·μ_n)²)。鋅因電洞能帶貢獻佔優而 R_H>0。半導體單能帶主導故模型準確。
霍爾感測器為何優於機械式開關？
霍爾感測器非接觸式測量磁場，無機械磨損，壽命達 10⁸ 次以上；響應時間 <1μs；可測直流與交流；對粉塵、油污、振動不敏感。汽車點火系統 1980 年代起由機械白金觸點改為霍爾感測器，免維護、精度高，是電子點火與無刷馬達控制核心元件。
如何量測微小霍爾電壓？
(1) 鎖相放大器——以交流電流調製分離霍爾訊號與熱電勢；(2) 反向磁場法——測 +B、−B 兩次取平均消除不對稱電位；(3) 反向電流法——測 +I、−I 消除殘留電位；(4) 樣品幾何對稱——四角霍爾接觸避免誤差；(5) 恆溫屏蔽——避免熱漂移。半導體高阻樣品需低溫 4K 減少熱擾動，可達 nV 級精度。
量子霍爾效應與經典霍爾有何不同？
1980 年克利欽在二維電子氣低溫強磁場下發現霍爾電阻 R_H 隨磁場量子化階梯 R_xy=h/(ν·e²)，ν=1,2,3...，整數階段精度 10⁻⁹，定義電阻標準 R_K=h/e²=25812.807 Ω。1982 年分數量子霍爾效應發現（勞克林、施特默、崔琦獲 1998 諾貝爾獎）。量子霍爾證明二維系統拓撲相變，至今是凝聚態物理重要分支，應用於量子度量與拓撲材料研究。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。R_H=V_H·t/(I·B)=1/(n·q)，n=1/(|R_H|·e)，e=1.602×10⁻¹⁹ C。V_H=1e-5V、I=10A、B=0.1T、t=1e-4m → R_H=1e-9 m³/C, n≈6.24e27 1/m³。R_H 符號決定載子類型（N 負、P 正）。