功計算器

重點速覽：功（work done）W = F · d · cosθ 是物理學中描述『力使物體移動時所轉移能量』的基本物理量，是連結『力』與『能量』的橋樑。在日常語言中『工作』很模糊，但在物理上『功』有嚴格定義：只有當力使物體沿力的方向產生位移時，力才對物體做功。公式中三個量的意義：F 是施加的力大小（牛頓 N）；d 是物體的位移大小（公尺 m）；θ 是力的方向與位移方向之間的夾角。三者結合為 W = F·d·cosθ，單位為焦耳（J，1 J = 1 N·m，等於用 1 牛頓的力使物體沿力方向移動 1 公尺所做的功）。公式中的 cosθ 因子是關鍵：它取出力在位移方向上的分量（F·cosθ），因為只有這個平行分量才對移動有貢獻。當力與位移完全同方向（θ = 0°，cos0° = 1）時做功最大 W = F·d；當力與位移成某角度時，做功按 cosθ 打折；當力完全垂直於位移（θ = 90°，cos90° = 0）時，力不做功——這解釋了為何提著重物『水平』行走時，你對重物的托力（向上）不做功（位移水平、力垂直，θ = 90°），以及為何等速圓周運動中向心力不做功（力指向圓心、位移沿切線，永遠垂直）。當夾角大於 90°（力與位移有相反分量，如摩擦力、阻力）時 cosθ 為負，做功為負，代表力『帶走』物體的能量。以本工具預設為例：以 F = 50 N 的水平力推物體沿同方向移動 d = 3 m（θ = 0°），做功 W = 50 × 3 × cos0° = 50 × 3 × 1 = 150 J。若同樣的力改成與位移成 60° 夾角施力，做功降為 W = 50 × 3 × cos60° = 50 × 3 × 0.5 = 75 J，只剩一半，因為只有力的水平分量在推動物體。功與能量密不可分：功能定理（work-energy theorem）指出，合力對物體所做的淨功等於其動能的變化（W_net = ΔKE = ½mv² − ½mv₀²）；重力做的功等於重力位能的減少；這使功成為分析能量轉換的核心工具。使用與解讀功時要注意幾點：第一，θ 是『力』與『位移』的夾角，不是與水平面或其他方向的夾角，判斷時要看清兩個向量的相對方向。第二，若有多個力，各力分別做功，總功是代數和（注意正負）；或用合力乘位移在合力方向的分量。第三，功是純量（沒有方向），但有正負：正功表示力給物體加入能量，負功表示力從物體帶走能量。第四，功的單位焦耳與力矩的 N·m 量綱相同但意義不同，不可混淆。第五，這裡的 F 與 d 都取大小（本工具將負輸入截為 0），方向資訊由夾角 θ 承載。日常參考：把 1 kg 物體舉高 1 m 約做功 9.8 J、爬一層樓（約 3 m）體重 60 kg 的人約做功 1800 J、拉開弓約數十至上百焦耳。總之，功 W = F·d·cosθ 量化了『力沿位移方向轉移了多少能量』，是理解機械做功、能量守恆、功能定理與一切能量轉換過程的基石。