向量加法計算器
輸入兩三維向量，計算向量和。a=(1,2,3), b=(4,5,6) → a+b=(5,7,9)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量加法 a+b 遵循平行四邊形法則（或三角形法則）：兩向量為鄰邊作平行四邊形，對角線即為向量和。分量計算：a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz)。性質：交換律 a+b=b+a、結合律 (a+b)+c=a+(b+c)、零向量 a+0=a。物理意義：向量疊加原理。力合成（多力同時作用）、速度合成（相對運動+水流/風速）、電場疊加（多電荷的電場）。|a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b（含點積項），反映夾角影響。應用：(1) 力合成（繩索張力、斜面受力）；(2) 速度合成（船+水流、飛機+風）；(3) 電場疊加（多電荷）；(4) 導航（風速修正）；(5) 結構分析（樑柱受力）。
計算公式
分量加法：a+b = (ax+bx, ay+by, az+bz)
平行四邊形：|a+b|² = |a|²+|b|²+2|a||b|cosθ
三角形法則：首尾相接
交換律：a+b = b+a
零向量：a+0 = a
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x+b_x, \; a_y+b_y, \; a_z+b_z), \quad |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 系統計算向量和的分量與大小。
常見向量加法
| a | b | a+b | |a+b| | 法則 |
|---|---|---|---|---|
| (3,0) | (4,0) | (7,0) | 7 | 同向相加 |
| (3,0) | (0,4) | (3,4) | 5 | 垂直 |
| (3,4) | (-3,-4) | (0,0) | 0 | 相反相消 |
| (1,1) | (1,1) | (2,2) | 2.83 | 同向 |
| (3,4) | (6,8) | (9,12) | 15 | 平行 |
同向相加最長、反向相消為零、垂直用畢氏。
理財情境案例
力合成與繩索張力
兩繩掛重物：繩夾 60°、各繩張力 100N。向量和=重力。兩向量夾 60°、|T|=100 → 合力=√(100²+100²+2×100×100×cos60°)=√30000=173N。重量 173N。
斜面：重力 mg=(0,-mg)、法向分解。斜面 30° → 平行分量 mg·sin30°=0.5mg、垂直 mg·cos30°=0.87mg。向量分解+合成。
香港吊車：纜繩張力合成支撐車廂重量。多纖維繩分散力、每繩受力小。
速度合成與導航
船速 20km/h 東、水流 5km/h 北 → 合速度=√(20²+5²)=20.6km/h、方向 atan(5/20)=14° 東偏北。實際軌跡偏移。
飛機：空速 500km/h 南、風速 50km/h 東 → 對地速度=√(500²+50²)=502.5km/h、偏東 atan(50/500)=5.7°。需修正航向。
香港國際機場：降落考慮側風。飛機航向修正角=arctan(側風/空速)。自動駕駛精確計算向量合成。
常見問題
向量加法為什麼用平行四邊形法則？
向量有大小和方向，不能簡單數字相加。平行四邊形法則（1808 由 Argand 系統化）保證：分量各自獨立相加 ax+bx、ay+by。對角線代表合力。三角形法則等效（首尾相接）。物理上對應疊加原理——多個向量同時作用的總效果。
向量加法和純量加法有何區別？
純量加法只加大小（3+4=7）。向量加法分量相加並考慮方向：垂直向量 (3,0)+(0,4)=(3,4)，大小 5 而非 7。夾角影響結果：同向 (3,0)+(4,0)=7、反向 (3,0)+(-4,0)=-1。一般 |a+b|≤|a|+|b|（三角不等式）。
向量可以相減嗎？
可以。a-b=a+(-b)：將 b 反向後相加。物理：相對速度 v_AB=v_A-v_B。分量相減 ax-bx。結果仍是向量。大小 |a-b|=√(|a|²+|b|²-2a·b)——比加法少一個點積項的符號。
多個向量如何相加？
依次相加（結合律）：(a+b)+c=a+(b+c)。分量法：所有 x 分量相加、所有 y 分量相加。多力作用時先算各分量合力再合成。電場疊加同理——多電荷電場分量相加。
向量加法在工程中有何應用？
(1) 結構工程：樑柱受力分析、框架力合成。(2) 電路：交流電向量加法（相量）。(3) 機械：連桿機構速度分析。(4) 導航：GPS、慣性導航用速度積分。(5) 電磁：多電荷電場疊加。香港橋樑、建築都用力向量合成分析。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)。平行四邊形法則。力合成、速度合成、電場疊加。交換律、結合律。