向量大小計算器
輸入三維向量分量，計算大小與方位角。a=(3,4,0) → |a|=5。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量大小（模、長度、magnitude）是向量長度，記作 |a| 或 a。三維向量 |a|=√(ax²+ay²+az²)。二維 |a|=√(ax²+ay²)（畢氏定理）。方位角（azimuth）= atan2(ay, ax) 描述 xy 平面方向。物理意義：向量大小是純量，代表物理量數值（力的大小、速率、位移距離）。分量是向量在座標軸的投影。極座標：向量=大小+方向（方位角、仰角）。應用：(1) 力的大小（合力大小）；(2) 速率（速度的大小）；(3) 電場強度、磁場強度；(4) 位移距離；(5) 3D 圖形、導航、機器人定位。
計算公式
三維大小：|a| = √(ax² + ay² + az²)
二維大小：|a| = √(ax² + ay²)
方位角：φ = atan2(ay, ax)
單位向量：â = a / |a|
畢氏定理：|a|² = ax² + ay² + az²
$$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}, \quad \hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 二維向量將 az 設為 0。
- 系統計算向量大小與方位角。
常見向量大小
| a | |a| | 方位角 | 說明 |
|---|---|---|---|
| (3,4,0) | 5 | 53.13° | 3-4-5 三角 |
| (1,0,0) | 1 | 0° | x 軸 |
| (0,1,0) | 1 | 90° | y 軸 |
| (1,1,0) | 1.41 | 45° | 對角 |
| (1,2,3) | 3.74 | 63.4° | 三維 |
3-4-5 是經典畢氏三角。方位角從 x 軸逆時針。
理財情境案例
力大小與速率
合力：F=(30,40,0)N → |F|=50N。繩索張力或斜面合力。3-4-5 比例常見。
速率：v=(20,15,0)m/s → |v|=25m/s=90km/h。方向 atan(15/20)=36.9°。車速表顯示速率（速度大小）。
香港地鐵：直線段 v=(20,0)、轉彎 v=(15,15)→速率 21.2m/s。曲線運動方向變但速率可恆定。
電場強度與導航
電場：E=(3,4,0)×10⁴N/C → |E|=5×10⁴N/C。多電荷電場疊加後計算總強度。
GPS 導航：位置向量 (1000,2000,50)m → |r|=2236m。水平距離 √(1000²+2000²)=2236m、高度 50m。
3D 建模：向量大小計算邊長、法向量。CAD、遊戲引擎、機器人路徑規劃都用。
常見問題
向量大小為什麼用畢氏定理？
向量分量互相垂直（正交），遵循畢氏定理 |a|²=ax²+ay²+az²。從原點到點 (ax,ay,az) 的距離就是向量大小。二維是平面距離、三維是空間距離。正交分量獨立、平方後相加。
方位角和仰角有何區別？
方位角（azimuth）：xy 平面內從 x 軸逆時針的角度 = atan2(ay,ax)。仰角（elevation）：與 xy 平面的夾角 = arcsin(az/|a|)。方位角描述水平方向、仰角描述垂直方向。兩者一起完整描述三維方向。
向量大小可以是負的嗎？
不可以。|a|=√(平方和) 恆非負。零向量 |0|=0。大小是長度，物理上是「量值」。若需要帶符號的方向，用分量。速率=速度的大小恆正；速度分量可正可負。
什麼是單位向量？
大小為 1 的向量：â=a/|a|。僅保留方向、去除大小。用於表示方向。座標軸單位向量 i=(1,0,0)、j=(0,1,0)、k=(0,0,1)。任意向量 a=|a|·â（大小乘方向單位向量）。
向量大小在日常中有何應用？
(1) 距離：兩點向量大小=直線距離。(2) 速率：速度向量的大小。(3) 力的合力大小。(4) 電場/磁場強度。(5) 信號強度（Wi-Fi、手機信號 dBm 與場強有關）。香港 GPS 導航、運動手錶都計算向量大小。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。|a|=√(ax²+ay²+az²)。畢氏定理三維推廣。方位角、單位向量。力大小、速率、電場強度應用。