向量投影計算器
輸入兩三維向量，計算 a 在 b 上的投影。a=(3,4,0), b=(1,0,0) → 純量投影=3，向量投影=(3,0,0)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：向量投影 proj_b(a) 是 a 在 b 方向上的分量向量。純量投影（分量大小）= a·b/|b| = |a|cosθ（θ 為夾角）。向量投影 = (a·b/|b|²)·b。性質：a 平行 b 時投影=a、垂直時投影=0、反向時投影為負純量。物理意義：分解力為有效分量（沿斜面）、運動分量、訊號投影。應用：(1) 力的分解（斜面、繩張力）；(2) 速度分量（水平/垂直）；(3) 最小二乘回歸；(4) 投影幾何（陰影、視圖）；(5) 訊號處理（正交分解）。
計算公式
純量投影：comp_b(a) = a·b / |b| = |a|cosθ
向量投影：proj_b(a) = (a·b / |b|²) · b
點積：a·b = ax·bx + ay·by + az·bz
垂直分量：a - proj_b(a)
$$\text{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}, \quad \text{comp}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = |\mathbf{a}|\cos\theta$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 系統計算純量投影與向量投影分量。
常見向量投影
| a | b | 純量投影 | 向量投影 | 意義 |
|---|---|---|---|---|
| (3,4,0) | (1,0,0) | 3 | (3,0,0) | x分量 |
| (1,1,0) | (1,0,0) | 1 | (1,0,0) | 45°投影 |
| (1,0,0) | (0,1,0) | 0 | (0,0,0) | 垂直 |
| (2,0,0) | (1,1,0) | 1.41 | (0.71,0.71,0) | 斜向 |
| (5,0,0) | (2,0,0) | 5 | (5,0,0) | 同向 |
純量投影 = |a|cosθ。θ=0 時最大、θ=90° 時為零。
理財情境案例
力的分解與斜面
斜面：重力 F=(0,-mg,0)、斜面方向 b=(cosθ, -sinθ,0)。純量投影=mg·sinθ 為沿斜面分量。斜面越陡下滑力越大。
繩張力：力 F 沿繩方向投影=有效拉力。多繩分担時各投影分量決定平衡。
風力投影：風速向量投影到建築面法向=風壓力分量。結構設計需算有效受風面。
運動分量與最小二乘
速度分量：v=(3,4,0) 在 x 方向投影=3。水平運動 3m/s、垂直 4m/s。拋體運動分解。
最小二乘：y 向量投影到 X 的行空間=最佳擬合 ŷ。回歸係數=投影比率。
訊號投影：訊號投影到正交基底=頻譜分量。FFT 本質是投影到正弦基底。
常見問題
純量投影和向量投影有何區別？
純量投影 comp_b(a)=a·b/|b|=|a|cosθ 是一個數（可為負）。向量投影 proj_b(a)=(a·b/|b|²)·b 是一個向量（沿 b 方向）。純量投影是向量投影的大小（帶號）。
為什麼垂直向量投影為零？
θ=90° 時 cosθ=0、純量投影=|a|cos90°=0。a 在 b 方向無分量。物理：垂直力不沿該方向作功（W=F·d cosθ=0）。垂直運動在該方向無分量。
投影和點積的關係？
純量投影 comp_b(a)=a·b/|b|。故 a·b=|b|·comp_b(a)=純量投影×|b|。點積本質是 b 的長度乘以 a 在 b 上的分量。幾何意義：a·b=|a||b|cosθ。
投影可以大於原向量嗎？
不可。|純量投影|=|a||cosθ|≤|a|（因 |cosθ|≤1）。θ=0° 時投影=|a| 最大。向量投影大小≤|a|。投影是分量、永遠不大於整體。
如何求垂直分量？
a 在 b 方向的垂直分量 = a - proj_b(a)。它垂直於 b。性質：proj_b(a) + 垂直分量 = a（正交分解）。應用：力分解為有效分量與垂直分量、求正交分量。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。向量投影 proj_b(a)=(a·b/|b|²)b。純量投影 a·b/|b|。力的分解應用。