純量三重積計算器
輸入三個三維向量，計算純量三重積與平行六面體體積。a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1) → 體積=1。
輸入資料
計算結果
重點速覽：純量三重積 (a×b)·c 是三個三維向量的純量運算。幾何意義：等於 a、b、c 構成的平行六面體體積（帶號）。|a×b| 為底面積、(a×b)·c/|a×b|=c 在底面法向分量=高。性質：(1) 體積=|三重積|；(2) 三重積=0 → 三向量共面；(3) 輪換不變 a×b·c=b×c·a=c×a·b；(4) 交換兩向量變號。應用：(1) 平行六面體/四面體體積；(2) 共面判斷；(3) 晶體單胞體積；(4) 流體渦度；(5) 電磁學（如坡印廷向量）。
計算公式
三重積：(a×b)·c = ax(by·cz-bz·cy) + ay(bz·cx-bx·cz) + az(bx·cy-by·cx)
體積：V = |(a×b)·c|
行列式：V = |det[a b c]|
共面：V = 0 → a、b、c 共面
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}, \quad V = |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}|$$使用說明
- 輸入向量 a 的三個分量（ax, ay, az）。
- 輸入向量 b 的三個分量（bx, by, bz）。
- 輸入向量 c 的三個分量（cx, cy, cz）。
- 系統計算三重積與體積。
常見純量三重積
| a | b | c | 三重積 | 體積 | 意義 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1,0,0) | (0,1,0) | (0,0,1) | 1 | 1 | 單位立方 |
| (2,0,0) | (0,3,0) | (0,0,4) | 24 | 24 | 長方體 |
| (1,1,0) | (1,0,0) | (0,1,0) | 0 | 0 | 共面 |
| (1,2,3) | (4,5,6) | (7,8,10) | -3 | 3 | 斜六面 |
| (1,0,0) | (0,1,0) | (1,1,0) | 0 | 0 | z=0共面 |
體積=|三重積|。三重積=0 表共面。負值表左手系。
理財情境案例
晶體單胞與四面體體積
晶體單胞：a=(2,0,0)、b=(0,2,0)、c=(0,0,2) → V=8。立方晶系單胞體積=邊長³。六方晶系用斜向量。
四面體：四面體體積=|三重積|/6。a=(1,0,0)、b=(0,1,0)、c=(0,0,1) → 四面體=1/6。錐體體積=底×高/3。
分子幾何：鍵向量構成四面體。甲烷 CH4 四個 C-H 鍵不共面（V≠0）。
共面判斷與流體渦度
共面判斷：a=(1,2,3)、b=(4,5,6)、c=(7,8,9) → V=0 共面（共線退化）。判斷四點共面。
流體渦度：渦度 ω=∇×v。流量 Q=∫v·dA 涉三重積。通量計算。
電磁學：坡印廷 S=E×H、能流密度。三重積出現於能量體積密度。
常見問題
純量三重積為什麼等於體積？
(a×b) 是垂直底面的向量、大小=底面積。再點積 c = |a×b|×(c 在法向分量)=底面積×高=體積。帶號：右手系為正、左手系為負。取絕對值得正體積。
三重積為零代表什麼？
三重積=0 → 體積=0 → 三向量共面（在同一平面上）。因 c 在 a×b 法向投影=0、即 c 垂直於 a×b、故 c 在 a、b 平面內。用於判斷四點共面、共線退化。
輪換不變是什麼意思？
a×b·c = b×c·a = c×a·b（輪換 abc→bca→cab 值不變）。但交換任兩向量變號：a×b·c = -(b×a·c)。對應行列式行輪換不改變值、行交換變號。
三重積和行列式的關係？
(a×b)·c = det[a b c]（以 a、b、c 為行的 3×3 行列式）。行列式幾何意義=平行六面體體積。故三重積本質=行列式。線性代數與向量分析統一。
四面體體積怎麼算？
由一頂點出發的三邊向量 a、b、c 構成四面體。體積=|(a×b)·c|/6（六面體的 1/6，因四面體是六面體的一角）。例如 a=(1,0,0)、b=(0,1,0)、c=(0,0,1) → 四面體=1/6。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。純量三重積 (a×b)·c=體積。共面判斷。晶體單胞應用。