史特凡-玻爾茲曼定律計算器
輸入發射率、表面積與溫度，計算黑體輻射功率 P=σ·ε·A·T⁴。ε=1、A=1m²、T=5800K（太陽）→ P≈64 MW。
輸入資料
計算結果
重點速覽：史特凡-玻爾茲曼定律（Stefan-Boltzmann law）：黑體單位面積單位時間輻射總功率 j*=σ·T⁴，總輻射功率 P=σ·ε·A·T⁴，σ=5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) 為史特凡-玻爾茲曼常數。溫度 T 翻倍則功率增加 16 倍（T⁴ 關係），高溫物體輻射劇增。實際物體發射率 ε<1（黑體 ε=1），金屬 ε≈0.05、水 ε≈0.95、人體 ε≈0.98。維恩位移定律：λ_max=b/T，b=2.898×10⁻³ m·K，溫度越高峰值波長越短。歷史：史特凡 1879 年由實驗得 T⁴ 關係；玻爾茲曼 1884 年熱力學推導；維恩 1893 年位移定律；普朗克 1900 年量子化推導。經典例：人體 T=310K、A=2m²、ε=0.98 → P=σ×0.98×2×310⁴=1.025 kW；太陽 T=5778K → j*=6.33×10⁷ W/m²、總功率 3.86×10²⁶ W。應用：(1) 紅外線測溫——額溫槍、耳溫槍；(2) 恆星光度——測量光譜推算表面溫度；(3) 熱成像——醫學、工業；(4) 輻射冷卻——太空船散熱；(5) 紅外線加熱——烤箱、保溫燈。
計算公式
黑體輻射功率：P = σ·ε·A·T⁴
功率密度：j* = σ·T⁴
史特凡-玻爾茲曼常數：σ = 5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
維恩位移定律：λ_max = b/T
維恩常數：b = 2.898×10⁻³ m·K
$$P = \sigma \varepsilon A T^4, \quad \sigma = 5.670374419 \times 10^{-8}\,\text{W/(m}^2\text{·K}^4\text{)}, \quad \lambda_{\max} = \frac{b}{T}$$使用說明
- 輸入發射率 ε（0-1）、表面積 A（m²）、絕對溫度 T（K）。
- 系統計算 P=σεAT⁴（W）、功率密度、峰值波長 λ_max=b/T、SB 常數。
- 常用：人體 T=310K、A=2m²、ε=0.98 → P≈1.03 kW；太陽 T=5778K → j*=63.3 MW/m²。
典型物體熱輻射功率（A=1m²）
| 物體 | T (K) | ε | P (W) | λ_max (μm) |
|---|---|---|---|---|
| 人體皮膚 | 310 | 0.98 | 514 | 9.35 |
| 室溫 | 293 | 0.9 | 373 | 9.89 |
| 沸水 | 373 | 0.95 | 987 | 7.77 |
| 鎢絲燈 | 2500 | 0.35 | 770000 | 1.16 |
| 太陽表面 | 5778 | 1.0 | 63200000 | 0.502 |
| 爐火 | 1500 | 0.8 | 287000 | 1.93 |
P=σεAT⁴。人體 P/A=σ·0.98·310⁴≈514 W/m²；太陽 P/A=63.2 MW/m²。λ_max 隨 T 升高而變短（藍移）。鎢絲 ε=0.35 使燈泡效率僅 5-10%（其餘為紅外線）。
理財情境案例
人體輻射散熱功率
人體表面積 A≈2m²、皮膚溫度 31°C=304K（比體內 310K 低）、發射率 0.98 → 輻射功率 P=σ×0.98×2×304⁴=467 W。
環境 20°C=293K 物體輻射回 380 W，淨輻射散熱 87 W。加上對流散熱（~100 W）和蒸發散熱（~30 W），總散熱約 200 W 與基礎代謝 80-100 W 匹配（含活動熱）。
沙漠夜間氣溫 5°C=278K → 淨輻射散熱 200 W，體溫下降快。北極狐毛皮 ε≈0.8 降低輻射，體溫維持 38°C。
太陽光度與表面溫度
太陽光譜峰值 λ_max=502nm（綠光），由維恩位移定律推算 T=b/λ_max=2.898e-3/5.02e-7=5778 K。
太陽半徑 R=6.96×10⁸ m，表面積 A=4πR²=6.09×10¹⁸ m²，總輻射功率 P=σ×1×6.09e18×5778⁴=3.86×10²⁶ W（太陽常數測得 1361 W/m² × 4πr² 反推一致）。
恆星觀測：參宿四（紅巨星）T=3500K → λ_max=828nm（紅外），低溫紅色；織女星 T=9602K → λ_max=302nm（紫外），高溫藍白。光譜觀測推算恆星溫度為天體物理基礎。
常見問題
什麼是黑體？為什麼黑體輻射理想？
黑體（black body）是理想化物體，吸收所有入射電磁輻射（任何波長、角度），不反射不透射，發射率 ε=1。實際物體 ε<1，稱為灰體。黑體輻射僅依賴溫度（與材料無關），是熱輻射的理想參考。卡文迪許、基爾霍夫 1860 年提出黑體概念；普朗克 1900 年引入能量量子化 ε=hν 完美解釋黑體輻射譜，量子力學誕生。
為什麼高溫物體發紅光、更高溫發白光？
維恩位移定律 λ_max=b/T：T=1000K → λ_max=2.9μm（紅外線，看不見但可感熱）；T=1500K → λ_max=1.93μm（近紅外）；T=3000K → λ_max=966nm（接近可見紅光，呈暗紅）；T=5800K → λ_max=500nm（綠黃光，呈白色如太陽）；T=10000K → λ_max=290nm（紫外，藍白色）。輻射譜跨越可見光波段時呈白色。
如何測量人體額溫？
額溫槍測量額頭紅外線輻射（λ_max≈9.35μm），由史特凡-玻爾茲曼定律 P=σεAT⁴ 反推溫度。需考慮發射率（皮膚 ε≈0.98）與環境反射修正。耳溫槍測量鼓膜（更接近體內溫度）紅外輻射。精度 ±0.2°C，距離 3-5cm。工業紅外測溫儀可測 -50°C 至 3000°C。
為什麼太空船需要輻射散熱？
太空中無對流和傳導散熱，僅能靠熱輻射 P=σεAT⁴。國際太空站（ISS）太陽照射面 150°C、陰影面 -150°C，需大型輻射板（A=1600m²）散熱 100 kW 電子設備。輻射板塗白漆 ε≈0.9 增加輻射、降低吸收太陽輻射。衛星電池保持 0-40°C 全靠輻射平衡，輻射器設計關鍵。
史特凡-玻爾茲曼常數如何測量？
現代 σ=5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) 由普朗克輻射定律積分推導：σ=2π⁵k⁴/(15h³c²)，k 為波茲曼常數、h 普朗克常數、c 光速。實驗測量：用黑體爐加熱至已知溫度，熱量計測量輻射功率反推 σ。利比 1897 年首次實驗 σ=5.32e-8，誤差 6%；現代實驗精度 0.01%。2019 SI 制重新定義 k 後 σ 成為精確值。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。史特凡-玻爾茲曼定律 P=σεAT⁴，σ=5.670374419e-8 W/(m²·K⁴)。維恩位移 λ_max=b/T，b=2.898e-3 m·K。人體 T=310K、A=2m²、ε=0.98 → P≈1.03 kW。太陽 T=5778K → λ_max=502nm。T 翻倍功率增加 16 倍。