史特凡-玻爾茲曼定律計算器
輸入發射率、表面積與溫度，計算黑體輻射功率。人體 ε=0.97, A=1.5m², T=310K → P≈744W。
輸入資料
計算結果
重點速覽：史特凡-玻爾茲曼定律（Josef Stefan 1879 實驗發現、Ludwig Boltzmann 1884 熱力學推導）：黑體單位面積單位時間輻射的總能量（全光譜積分）j=σεT⁴，總功率 P=σεAT⁴。其中 σ=5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) 為史特凡-玻爾茲曼常數、ε 為發射率（0-1，黑體=1）、A 為表面積、T 為絕對溫度。物理意義：(1) 輻射功率與溫度四次方正比——溫度加倍功率×16；(2) 發射率表徵實際物體與理想黑體的接近程度，Kirchhoff 定律 ε(λ)=α(λ)（吸收率=發射率）；(3) 室溫物體（300K）輻射約 460 W/m²（紅外線），人體淨輻射~100 W（扣除環境吸收）；(4) 高溫輻射急劇增大——600K 時功率為 300K 的 16 倍。推導：Boltzmann 從熱力學第二定律+麥克斯韋電磁理論推導 T⁴ 關係；Planck 1900 黑體輻射公式積分得 σ=2π⁵k⁴/(15h³c²)=5.670e-8。歷史：Staten 測量鉑絲輻射歸納經驗定律，Boltzmann 理論推導。應用：(1) 恆星光度測量（L=4πR²σT⁴）；(2) 紅外線測溫、熱像儀；(3) 輻射製冷（太空望遠鏡被動冷卻）；(4) 核融合電漿輻射損失；(5) 白熾燈、鹵素燈設計；(6) 地球輻射平衡（溫室效應）。
計算公式
總功率：P = σ·ε·A·T⁴
功率密度：j = σ·ε·T⁴
史特凡常數：σ = 5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
恆星光度：L = 4π·R²·σ·T⁴
與維恩定律：λ_max = b/T
$$P = \sigma\varepsilon A T^4, \quad j = \sigma\varepsilon T^4, \quad \sigma = 5.670\times10^{-8}\,\text{W/(m}^2\text{·K}^4\text{)}$$使用說明
- 輸入發射率 ε（人體 0.97）。
- 輸入表面積 A（m²，人體 1.5）。
- 輸入溫度 T（K，人體 310）。
- 系統計算輻射功率、功率密度與峰值波長。
ε=1、A=1m² 各溫度黑體輻射
| T (K) | j (W/m²) | P (W) | λ_max (μm) |
|---|---|---|---|
| 300 | 459 | 459 | 9.66 |
| 373 | 1097 | 1097 | 7.77 |
| 1000 | 56704 | 56704 | 2.90 |
| 2800 | 3.49e6 | 3.49e6 | 1.04 |
| 5778 | 6.33e7 | 6.33e7 | 0.50 |
P∝T⁴：溫度加倍功率×16。1000K 為 300K 的 123 倍。白熾燈 2800K 可見光比例低，太陽 5778K 峰值在可見光。
理財情境案例
恆星光度與表面溫度
太陽半徑 R=6.96e8 m、表面溫度 5778K、ε≈1。光度 L=4πR²σT⁴=4π×(6.96e8)²×5.67e-8×5778⁴≈3.83e26 W。地球接收太陽常數 S=L/(4π·1AU²)=1361 W/m²。
紅巨星參宿四 R≈700R☉ 但 T≈3500K，光度 L≈1.4e31 W（太陽 14000 倍）。白矮星 R≈0.01R☉ 但 T≈25000K，光度≈0.001L☉。
香港太空館、天文學會觀測恆星光譜推算 R、T、L。赫羅圖（H-R diagram）為恆星分類工具。
人體輻射與白熾燈效率
人體 ε=0.97、A=1.5m²、T=310K。P=5.67e-8×0.97×1.5×310⁴≈744 W。但人體同時吸收環境輻射（300K, 423W），淨輻射≈744-423=321W。加上蒸發、對流散熱總約 100W（基礎代謝率）。
白熾燈 2800K、鎢絲 ε≈0.35、A≈1e-4m²。P=5.67e-8×0.35×1e-4×2800⁴≈1.22W（60W 燈泡可見光功率僅 2-3W，效率 5%）。LED 燈峰值在可見光，效率 80%+。
香港 2022 禁售白熾燈，推動 LED 節能。LED 10W 替代白熾 60W，省電 83%。溫室效應：地球吸收太陽輻射 1361/4 W/m²，輻射平衡 T=(S(1-α)/(4σ))^(1/4)≈255K，溫室氣體使表面 288K。
常見問題
為什麼輻射功率與 T⁴ 成正比？
從普朗克黑體輻射公式 u(λ,T)=8πhc/λ⁵·1/(e^(hc/λkT)-1) 全波長積分得 P=σεT⁴。T⁴ 來自：(1) 每個光子能量 ∝kT（高溫光子能量大）；(2) 光子數 ∝T³（高溫光子密度大）；(3) 兩者乘積∝T⁴。Boltzmann 從熱力學推導此關係，Planck 1900 從量子假設推導微觀基礎。
發射率 ε 是什麼？
發射率 ε 表徵實際物體輻射能力與理想黑體的比值（0-1）。黑體 ε=1（完美吸收發射）、完美反射鏡 ε=0。Kirchhoff 定律：熱平衡時吸收率 α=發射率 ε。黑色物體吸收好發射也好（ε≈0.9），拋光金屬吸收差發射也差（ε≈0.05）。人體皮膚 ε≈0.97（紅外波段，與顏色無關）。雪 ε≈0.85 故輻射製冷使表面降溫低於氣溫。
為什麼室溫物體不發光？
室溫 300K 輻射功率密度 460 W/m²，但峰值波長 9.66 μm（遠紅外），人眼不可見。人眼可見 400-700 nm，對應黑體溫度 4140-7250K。故物體需 >800K 才開始紅熱（峰值 3.6 μm，但尾部延伸至可見紅光）。600K 以下不發可見光。紅外線熱像儀可探測室溫輻射。
核融合為什麼需要極高溫？
氘氚融合需克服庫倫斥力，電漿溫度 >1e8K。此溫度下電漿輻射損失 P=σεT⁴ 急劇增大（軔致輻射、同步輻射）。若輻射損失 > 聚變產能，電漿冷卻熄火。Lawson 判據 nTτ > 臨界值保證淨能量。ITER、NIF 追求點火。1e8K 輻射功率密度 5.67e-8×1e8⁴=5.67e22 W/m²，故需磁約束（體積小）或慣性約束（時間短）。香港未參與 ITER 但有託卡馬克研究。
地球如何輻射平衡？
地球吸收太陽輻射 S=1361 W/m²×πR²×(1-α)，α=0.3 反照率。輻射 P=4πR²σεT⁴。平衡 T=(S(1-α)/(4σ))^(1/4)=(1361×0.7/(4×5.67e-8))^(1/4)≈255K（-18℃）。實際地表 288K（+15℃），溫室氣體使有效輻射高度上升、表面更暖。溫室效應 ΔT=33℃。人為 CO₂ 增加加劇溫室效應，香港海平面上升風險。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。P=σεAT⁴。Stefan 1879、Boltzmann 1884。σ=5.67e-8 W/(m²·K⁴)。恆星光度、人體輻射、白熾燈效率、地球輻射平衡。