普朗克輻射定律計算器
輸入絕對溫度，計算黑體總輻射功率密度 j*=σT⁴ 與維恩位移波長 λ_max=b/T。太陽 5778K → λ_max≈501nm（綠光）；室溫 300K → λ_max≈9.66μm（紅外線）。
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計算結果
重點速覽：普朗克輻射定律（Planck's law of black-body radiation）：黑體（perfect black body）在熱平衡時輻射的電磁波譜密度由普朗克公式 B(λ,T)=(2hc²/λ⁵)·1/(exp(hc/λkT)−1) 給出，其中 h=6.626×10⁻³⁴ J·s 為普朗克常數、c=2.998×10⁸ m/s 為光速、k=1.381×10⁻²³ J/K 為波茲曼常數。由德國物理學家馬克斯·普朗克（Max Planck）1900 年 10 月提出，引入能量量子化假設 E=hν（電磁波能量只能以 hν 整數倍交換），開啟量子力學時代。從普朗克定律可推導出兩個重要簡化定律：(1) 史特凡-玻茲曼定律（Stefan-Boltzmann law）——對所有波長積分得總輻射功率密度 j*=σ·T⁴，其中 σ=2π⁵k⁴/(15h³c²)≈5.670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴) 為史特凡-玻茲曼常數。由約瑟夫·史特凡 1879 年實驗發現、路德維希·玻茲曼 1884 年熱力學推導。(2) 維恩位移定律（Wien's displacement law）——峰值波長 λ_max=b/T，b≈2.898×10⁻³ m·K 為維恩位移常數。由威廉·維恩 1893 年提出。經典數值：太陽表面 T≈5778 K → j*≈6.32×10⁷ W/m²、λ_max≈501 nm（綠光）；人體 T≈310 K → j*≈524 W/m²、λ_max≈9.35 μm（紅外線，熱像儀頻段）；室溫 300 K → j*≈459 W/m²、λ_max≈9.66 μm；燈絲 2800 K → λ_max≈1035 nm（近紅外）；宇宙微波背景 T≈2.725 K → λ_max≈1.06 mm（微波）；鎢絲燈 3300 K → λ_max≈878 nm。應用：(1) 恆星光度與表面溫度——赫羅圖（H-R diagram）分類恆星；(2) 紅外線測溫/熱像儀——測量物體紅外輻射反推溫度；(3) 太陽能板設計——計算太陽輻射光譜分布與電池響應匹配；(4) 宇宙學——宇宙微波背景 T=2.725 K 為大爆炸遺跡；(5) 工業高溫測量——光學高溫計測量熔爐、鋼水溫度；(6) 暖通空調——建築輻射熱計算。歷史：普朗克最初將量子化視為數學技巧，1905 年愛因斯坦用光量子解釋光電效應確立量子實質；1918 年普朗克獲諾貝爾物理獎。
計算公式
普朗克譜：B(λ,T) = (2hc²/λ⁵) · 1/(exp(hc/λkT) − 1)
史特凡-玻茲曼定律：j* = σ · T⁴
史特凡常數：σ = 2π⁵k⁴ / (15h³c²) ≈ 5.670×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
維恩位移定律：λ_max = b / T
維恩常數：b ≈ 2.898×10⁻³ m·K
$$j^* = \sigma T^4, \quad \sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15 h^3 c^2}$$$$\lambda_{\max} = \frac{b}{T}, \quad b \approx 2.898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$使用說明
- 輸入絕對溫度 T（K，>0）。
- 系統計算總輻射功率密度 j*=σT⁴、峰值波長 λ_max=b/T。
- T 翻倍時輻射功率增加 16 倍（T⁴ 關係）；T 越高峰值波長越短。
常見黑體溫度的輻射特性
| 物體 | 溫度 T(K) | 總輻射 j*(W/m²) | 峰值波長 λ_max | 頻段 |
|---|---|---|---|---|
| 宇宙微波背景 | 2.725 | 3.13e-6 | 1.063 mm | 微波 |
| 人體 | 310 | 524.0 | 9.35 μm | 紅外線 |
| 室溫 | 300 | 459.3 | 9.66 μm | 紅外線 |
| 燈絲 | 2800 | 3.49e6 | 1.035 μm | 近紅外 |
| 太陽表面 | 5778 | 6.32e7 | 0.501 μm | 可見光 |
| 北極星 | 8600 | 3.11e8 | 0.337 μm | 紫外線 |
T 越高輻射功率越大（T⁴）；峰值波長越短（藍移）。太陽 5778K 峰值在可見光，故人眼適應可見光。
理財情境案例
太陽輻射與太陽能板
太陽表面 T≈5778 K，輻射功率密度 j*=5.67e-8×5778⁴≈6.32×10⁷ W/m²。
地球軌道處（1 AU）太陽輻射約 1361 W/m²（太陽常數）。
太陽峰值波長 λ_max≈501 nm（綠光），與矽太陽能板光譜響應（500-1000 nm）匹配良好，效率約 15-25%。
人體熱輻射與熱像儀
人體皮膚溫度約 305 K（32°C），近似黑體輮射。
j*=5.67e-8×305⁴≈491 W/m²，峰值波長 λ_max≈9.49 μm（長波紅外）。
熱像儀偵測 8-14 μm 紅外線，可解析 0.1°C 溫差，用於體溫篩檢、工業檢測、夜視。
常見問題
為什麼太陽峰值在可見光波段？
太陽表面 T≈5778 K，由維恩位移 λ_max=b/T=2.898e-3/5778≈501 nm（綠光），恰在可見光（400-700 nm）範圍。這是生物演化的結果——人眼視覺系統適應太陽光譜峰值，對綠光（550 nm）最敏感。恆星溫度越高峰值越短：北極星 8600 K（紫）、參宿四 3500 K（紅）。
為什麼室溫物體不發光？
室溫 300 K 時 λ_max≈9.66 μm（遠紅外），遠超可見光範圍（400-700 nm），人眼不可見但可被紅外線感測器（熱像儀）偵測。物體加熱到約 800 K 時進入可見光紅端（紅熱），1500 K 時白熱（白熾燈絲）。所有 0 K 以上物體都輻射。
史特凡-玻茲曼常數是怎麼推導的？
σ=2π⁵k⁴/(15h³c²)，由普朗克公式對所有波長積分得到。式中 k 為波茲曼常數、h 為普朗克常數、c 為光速。此推導是量子力學早期重大勝利——古典統計力學推導出來的 σ 值與實驗不符（紫外災變），引入能量量子化後才正確。
什麼是紫外災變？
古典統計力學（瑞利-金斯公式）預測黑體輻射在高頻（紫外）端能量密度趨於無窮大，違反能量守恆，稱紫外災變。普朗克 1900 年引入能量量子化 E=hν，推導出正確光譜，避免紫外災變。這是量子力學誕生的關鍵契機。
宇宙微波背景為什麼是 2.725 K？
大爆炸後約 38 萬年宇宙變透明，光子自由傳播（複合時期）。宇宙膨脹使光子紅移，溫度從約 3000 K 降至現在的 2.725 K。峰值波長 λ_max=b/T≈1.06 mm（微波波段），由彭齊亞斯與威爾遜 1964 年偶然發現，為大爆炸理論關鍵證據（獲 1978 年諾貝爾物理獎）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。j*=σT⁴、σ≈5.670×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)、λ_max=b/T、b≈2.898×10⁻³ m·K；T=5778 K 時 λ_max≈501 nm；普朗克 1900 年提出能量量子化。