彈簧自然頻率計算器
輸入彈簧勁度係數 k 與負載質量 m，即時計算自然頻率 f、振動週期 T 與角頻率 ω，適用於簡諧振動（SHM）設計。
輸入資料
計算結果
重點速覽：彈簧自然頻率（natural frequency / resonant frequency），是質量—彈簧系統在『無阻尼、零外力』情況下自由振動的特徵頻率。只要質量 m 與彈簧係數 k 確定，系統就有唯一的一組 f、T、ω 與之對應，是動力學與振動工程最核心的一組指標。
計算公式
自然頻率：f = (1 / (2π)) · √(k / m)（單位 Hz，即次 / 秒）
振動週期：T = 1 / f = 2π · √(m / k)（單位 秒 s）
角頻率：ω = 2π f = √(k / m)（單位 rad/s）
其中 k = 彈簧係數（N/m），m = 振子質量（kg）。
$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$使用說明
- 在「彈簧系統參數」分組中輸入：彈簧係數 k (N/m) 與質量 m (kg)。
- 系統會自動實時輸出自然頻率 f (Hz)、週期 T (s) 與角頻率 ω (rad/s)。
- 若結果為 0，表示您的 k 或 m 落在不可行範圍（≤ 0），請重新調整輸入。
固定質量 m = 1 kg，改變彈簧係數 k 對應的頻率與週期
| k (N/m) | m (kg) | f (Hz) | T (s) | ω (rad/s) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 0.5033 | 1.9869 | 3.1623 |
| 50 | 1 | 1.1254 | 0.8886 | 7.0711 |
| 100 | 1 | 1.5915 | 0.6283 | 10.0000 |
| 500 | 1 | 3.5588 | 0.2809 | 22.3607 |
| 1000 | 1 | 5.0329 | 0.1987 | 31.6228 |
理財情境案例
汽車懸吊系統設計
某車型懸吊 k = 40000 N/m，單輪支撐質量 m = 375 kg（含車身 1/4）。
計算：f = (1/(2π))·√(40000/375) ≈ 1.64 Hz，屬舒適乘坐區間（1–2 Hz）。
實驗室小型質-彈系統
k = 100 N/m，m = 1 kg：f ≈ 1.59 Hz，T ≈ 0.63 s，ω ≈ 10 rad/s。
此例即為計算器的預設值，方便快速核對。
常見問題
彈簧自然頻率的三個公式是什麼？
f = (1/(2π))√(k/m)；T = 2π√(m/k)；ω = √(k/m)。三者彼此互換：f = 1/T、ω = 2πf。
頻率為什麼與振幅無關？
簡諧振動（線性虎克彈簧）是『等時性』系統：回復力與位移成正比，結果振幅不影響週期。只有出現非線性彈簧（例如大變形）時，振幅才會改變 f。
k 越大頻率越高嗎？
是的：f ∝ √k，彈簧越硬（k 大），振動越快；m 越大（質量重），振動越慢（f ∝ 1/√m）。
為什麼我的結果是 0？
請檢查 k 與 m 是否都 > 0，當任一參數 ≤ 0 時，計算器回傳 0 以避免除零或虛數。