磁矩計算器
輸入電流、面積、磁場與角度，計算磁矩、力矩與位能。I=2A, A=0.05m², B=0.5T, θ=90° → μ=0.1 A·m²。
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計算結果
重點速覽：磁矩（magnetic moment）：載流線圈或磁性材料產生的磁偶極矩 μ=NIA，其中 N 為匝數、I 為電流、A 為面積。方向垂直於線圈平面（右手定則）。磁場中磁矩受力矩 τ=μ×B，大小 τ=μB sinθ；位能 U=-μ·B=-μB cosθ。物理意義：(1) μ 為磁偶極強度，與電流大小、線圈面積、匝數正比；(2) 磁場使磁矩朝平行方向轉動（θ→0）——力矩驅動馬達旋轉；(3) 位能在 θ=0 時最小（-μB）最穩定、θ=180° 時最大（+μB）不穩定、θ=90° 時為零（中性）；(4) 磁矩與角動量比為迴轉磁比 γ（電子 γ=-g·e/(2m)）。微觀：電子軌道磁矩 μ_L=-μ_B·L/ℏ、自旋磁矩 μ_S=-g·s·μ_B/ℏ，μ_B=eℏ/(2m_e)=9.274e-24 A·m² 為玻爾磁子。歷史：Gilbert 1600 識別地球磁矩、Ampère 1820 推導電流磁效應。應用：(1) 電動機（磁矩在磁場中受力矩轉動）；(2) 發電機（機械能→電能，磁矩變化感應電流）；(3) MRI（人體氫質子磁矩在強磁場中進動）；(4) 磁化、磁性材料；(5) 電磁鐵、繼電器；(6) 磁羅盤。
計算公式
磁矩：μ = N·I·A
力矩：τ = μ×B = μB sinθ
位能：U = -μ·B = -μB cosθ
玻爾磁子：μ_B = eℏ/(2m_e) = 9.274e-24 A·m²
迴轉磁比：γ = -g·e/(2m_e) 電子自旋
$$\mu = NIA, \quad \tau = \mu B \sin\theta, \quad U = -\mu B \cos\theta, \quad \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times 10^{-24}\,\text{A·m}^2$$使用說明
- 輸入電流 I（A）。
- 輸入線圈面積 A（m²）。
- 輸入磁場 B（T）。
- 輸入角度 θ（°）。
- 系統計算磁矩 μ、力矩 τ 與位能 U。
I=2A、A=0.05m²（μ=0.1 A·m²）各磁場力矩
| B (T) | θ (°) | τ (N·m) | U (J) |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 0 | 0 | -0.050 |
| 0.5 | 45 | 0.0354 | -0.0354 |
| 0.5 | 90 | 0.050 | 0 |
| 0.5 | 180 | 0 | 0.050 |
| 1.5 | 90 | 0.150 | 0 |
τ 在 θ=90° 最大。U 在 θ=0° 最小（穩定）、θ=180° 最大（不穩）。τ 與 B、μ 正比。
理財情境案例
直流電動機原理
電動機轉子線圈在磁場中受力矩 τ=N·B·I·A·sinθ 轉動。換向器每半圈反向電流，使 τ 恆為正方向轉動。
香港巴士、地鐵近年改用電動馬達取代柴油。特斯拉 Model 3 感應馬達 200 kW、磁場 1T、轉子 0.05 m²、I~500A、N=10 → τ~0.25 N·m per 匝 × 變速箱放大。
MRI 1.5-7 T 超導磁體線圈電流數百安培連續運轉，磁矩極大產生強磁場。冷卻液氦 4K 保持超導零電阻。
MRI 氫質子進動與磁化
人體氫原子核（質子）自旋磁矩 μ_p=1.41e-26 A·m²（核磁子量級）。在 MRI 1.5T 磁場中受力矩 τ=μB sinθ，質子繞磁場進動頻率 ω=γB（Larmor 頻率 63.87 MHz at 1.5T）。
熱平衡時 μ 沿 B 方向磁化 M=Nμ tanh(μB/kT)，1.5T、310K、人體氫密度→M~1e-6 A/m，需射頻脈衝翻轉成像。
香港養和、浸會醫院 MRI 1.5-3T 常規。研究型 7T、11.7T 動物實驗。磁矩為 MRI 物理基礎。
常見問題
為什麼磁矩與電流正比？
微觀：電流為電荷流動，運動電荷在磁場中受力（Lorentz F=qv×B）。線圈中電荷繞圈運動等效磁偶極，磁矩 μ=NIA。N 匝疊加、I 電流大、A 面積大皆增磁矩。Ampère 定律推導：閉合電流環磁偶極矩 μ=I·A。這也是為何電磁鐵（多匝大電流）磁場強。超導磁體用零電阻大電流MRI 1.5T。
為什麼力矩在 90° 最大？
τ=μ×B，向量外積大小 τ=μB sinθ。θ=90° 時 sinθ=1 最大。θ=0°（μ 平行 B）或 θ=180°（反平行）時 sinθ=0 力矩為零。θ=90° 時力矩最大但位能為零（中性）。θ=0° 位能最低（穩定）、θ=180° 位能最高（不穩，易翻轉至 0°）。力矩使磁矩朝 θ=0° 平行方向轉動，這是磁針指南、磁矩排列的原理。
MRI 中質子如何用磁矩成像？
人體氫質子自旋磁矩 μ_p=1.41e-26 A·m²。MRI 強磁場 1.5T 使質子磁化（淨磁矩沿 B）。射頻脈衝（Larmor 頻率 ω=γB=63.87 MHz at 1.5T）翻轉磁矩，鬆弛回平衡時釋放信號。梯度線圈使不同位置 Larmor 頻率不同，反推位置成像。磁矩翻轉、進動、鬆弛為 MRI 三大物理。
玻爾磁子 μ_B 是什麼？
μ_B=eℏ/(2m_e)=9.274e-24 A·m² 為電子自旋磁矩的基本單位。電子自旋磁矩 μ_S≈-g_s·μ_B·S/ℏ，g_s≈2.0023（反常磁矩 QED 修正）。軌道磁矩 μ_L=-μ_B·L/ℏ。μ_B 為原子磁矩量級，比宏觀磁矩（μ_NIA）小很多。質子磁矩為核磁子 μ_N=eℏ/(2m_p)=5.05e-27 A·m²，比 μ_B 小 1836 倍（質子質量比電子大）。
順磁性、鐵磁性與磁矩關係？
順磁性：原子磁矩隨機排列磁化率小（居里定律 χ=C/T）。鐵磁性：磁矩強耦合自發同向排列，磁疇內 μ 同向，淨磁矩大。磁化 M=N·μ。磁疇壁移動與磁疇翻轉使鐵磁材料磁化曲線非線性（滯迴）。Curie 溫度以上熱運動破壞鐵磁序轉順磁。磁矩微觀（電子自旋）與宏觀（磁化）橋接統計力學。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。μ=NIA、τ=μB sinθ、U=-μB cosθ。Gilbert 1600、Ampère 1820。玻爾磁子 μ_B=eℏ/(2m_e)=9.274e-24。MRI Larmor 進動。電動機原理。