趨膚深度計算器
輸入頻率、相對磁導率與電導率，計算電磁波在導體中的趨膚深度 δ=√(2/(2πfμσ))。銅 60Hz → δ≈8.42 mm；1MHz → δ≈65 μm。
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計算結果
重點速覽：趨膚深度（Skin depth）：交流電流通過導體時，由於自感電動勢，電流趨向於導體表面流動，頻率越高越明顯。電流密度從表面向內呈指數衰減 J=J₀·exp(−x/δ)，其中 δ 為趨膚深度，定義為電流密度衰減至表面 1/e（約 36.8%）的深度。公式 δ=√(2/(ωμσ))=√(2/(2πf·μ₀μ_r·σ))，其中 f 為頻率、μ₀=4π×10⁻⁷ H/m 為真空磁導率、μ_r 為相對磁導率、σ 為電導率。經典例：銅（σ=5.96×10⁷ S/m、μ_r=1）在 f=60 Hz 下 δ≈8.42 mm；f=1 kHz → 2.06 mm；f=1 MHz → 65.2 μm；f=1 GHz → 2.06 μm。鐵（μ_r=5000、σ=1e7）在 60 Hz 下 δ≈0.29 mm，遠小於銅。歷史：馬克士威 1865 年電磁理論；赫茲 1887 年實驗驗證電磁波；開爾文 1887 年分析趨膚效應；海維賽 1885 年推導趨膚深度公式。應用：(1) 射頻電路——高頻電流集中於導體表面，導線電阻增大，需用鍍銀銅線、利茲線（Litz wire，多股細線隔離）降低損耗；(2) 變壓器繞組——大電流繞組用扁銅帶或空心導體降低趨膚效應損耗；(3) 感應加熱——高頻磁場在工件表面產生渦流加熱，深度由趨膚深度決定（高頻淺硬化、低頻深淬火）；(4) 電磁屏蔽——金屬外殼屏蔽射頻干擾，厚度需大於 3-5 倍趨膚深度；銅網 1mm 可屏蔽 1MHz 以上；(5) 電力傳輸——高壓輸電線交流損耗高於直流（趨膚效應），HVDC 長距離效率高；(6) 微波爐——金屬壁厚 >> 趨膚深度（2.45GHz 銅 δ≈1.3 μm），完全屏蔽；(7) 雷達隱身——飛機表面塗層吸收電磁波減少反射。注意：鐵磁性材料 μ_r 大故趨膚深度極小；超導體 σ→∞ 故 δ→0（邁斯納效應完全屏蔽內部磁場）。
計算公式
趨膚深度：δ = √(2 / (ω · μ · σ)) = √(2 / (2π · f · μ₀ · μ_r · σ))
角頻率：ω = 2π · f
真空磁導率：μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m ≈ 1.257 × 10⁻⁶
相對磁導率：μ_r（銅 1、鐵 5000、坡莫合金 1e5）
電流密度衰減：J(x) = J₀ · exp(−x / δ)
$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}} = \sqrt{\frac{2}{2\pi f \mu_0 \mu_r \sigma}}$$使用說明
- 輸入頻率 f（Hz）、相對磁導率 μ_r、電導率 σ（S/m）。
- 系統計算 δ=√(2/(2πf·μ₀μ_r·σ))，輸出 m、mm、μm 三種單位。
- 常用：銅 60Hz → 8.42 mm；銅 1MHz → 65 μm；鐵 60Hz → 0.29 mm。
常見導體在不同頻率的趨膚深度
| 導體 | 電導率 σ (S/m) | 60 Hz δ (mm) | 1 kHz δ (mm) | 1 MHz δ (μm) | 1 GHz δ (μm) |
|---|---|---|---|---|---|
| 銀 | 6.30e7 | 8.19 | 2.01 | 63.4 | 2.01 |
| 銅 | 5.96e7 | 8.42 | 2.06 | 65.2 | 2.06 |
| 金 | 4.10e7 | 10.14 | 2.49 | 78.6 | 2.49 |
| 鋁 | 3.77e7 | 10.59 | 2.60 | 82.0 | 2.60 |
| 鐵 (μ_r=5000) | 1.0e7 | 0.29 | 0.071 | 2.25 | 0.071 |
鐵磁材料 μ_r 大故趨膚深度極小；銀電導率最高但成本高，銅為主流導體材料。
理財情境案例
射頻電路鍍銀銅線
射頻訊號 f=1 GHz，銅導線 σ=5.96e7 S/m。
δ=√(2/(2π×1e9×1.2566e-6×1×5.96e7))≈2.06 μm。
電流集中於表面 2 μm 內，故射頻線鍍銀（σ 更高）降低表面電阻，銀層厚度僅需 5-10 μm。
電磁屏蔽金屬外殼
電子設備需屏蔽 100 MHz 射頻干擾。
銅外殼 δ=√(2/(2π×1e8×1.2566e-6×1×5.96e7))≈6.52 μm。
0.1 mm 銅皮厚度 >> δ（15 倍），屏蔽效果 >100 dB，足夠隔離射頻干擾。
常見問題
為什麼高頻電流集中於導體表面？
交流電流產生交變磁場，磁場在導體內部感應反向電動勢（楞次定律），抵消內部電流。頻率越高磁場變化越快、抵消效應越強，電流被迫集中於表面層。這稱趨膚效應（skin effect），使導體有效截面積減小、電阻增大。
為什麼鐵的趨膚深度比銅小很多？
鐵具有鐵磁性，相對磁導率 μ_r≈5000（遠大於銅的 1）。趨膚深度 δ∝1/√μ_r，故鐵的 δ 僅為銅的 1/√5000≈1/70。鐵在 60Hz 下 δ≈0.29 mm，遠小於銅的 8.42 mm。這也是鐵芯需用疊片降低渦電流的原因。
利茲線（Litz wire）是什麼？
利茲線由多股細漆包線（直徑小於趨膚深度）編繞而成，每股線截面均小於 δ，電流均勻分佈於各股，避免趨膚效應增大電阻。常用於 10 kHz-2 MHz 開關電源變壓器、感應加熱線圈、射頻諧振電路，降低高頻銅損。
趨膚深度與電磁屏蔽有何關係？
電磁波進入導體後呈指數衰減 E=E₀·exp(−x/δ)。厚度等於 δ 時衰減至 37%（−9 dB）；3δ 衰減至 5%（−27 dB）；5δ 衰減至 0.7%（−43 dB）。實際屏蔽要求厚度 >3-5δ。銅在 1 MHz 下 δ≈65 μm，0.5 mm 銅皮衰減 >50 dB。
為什麼 HVDC（高壓直流）長距離傳輸效率高？
交流輸電受趨膚效應影響，導線有效電阻增大（特別是 50/60 Hz 大截面導線）；直流無趨膚效應，導線全截面均流通電流，損耗低。長距離（>600 km）HVDC 線路損耗低於 HVAC，三峽-廣東 ±500kV HVDC 線路即為典型案例。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。δ=√(2/(2πfμ₀μ_rσ))；μ₀=1.2566e-6 H/m；銅 60Hz → 8.42 mm；鐵 μ_r=5000 → 0.29 mm。