剪切模量計算器
輸入剪切力 F、受剪面積 A、剪切面間距 L 與横向位移 Δx，依 G=F·L/(A·Δx) 即時算出材料的剪切模量。F=1000N, A=1e-4m², L=1m, Δx=1.26e-4m → G≈79.4 GPa。
輸入資料
計算結果
重點速覽：剪切模量（shear modulus，符號 G 或 μ），又稱剛性模量（modulus of rigidity），是固體材料抵抗剪切變形（形狀改變但體積不變）能力的度量。當一對平行力作用於物體兩相對截面使其發生相對滑動時，產生剪應力 τ=F/A（F 為剪切力、A 為受剪面積，單位 Pa）與剪應變 γ=Δx/L（Δx 為横向位移、L 為兩剪切面間距，無因次）。在彈性範圍內剪應力與剪應變成正比：τ=G·γ，比例常數 G 即剪切模量，整理得 G=τ/γ=F·L/(A·Δx)，單位與應力相同為帕斯卡（Pa），工程上常用 GPa（10⁹ Pa）。剪切模量本質是虎克定律在剪切方向的推廣：G 越大材料越『硬』越難剪切變形（如鋼），G 越小越易發生剪切流動（如橡膠、流體 G≈0）。常見材料剪切模量：鑽石 470 GPa、鋼 79 GPa、銅 48 GPa、鋁 26 GPa、玻璃 30 GPa、木材 1 GPa、橡膠 0.3 MPa。剪切模量與楊氏模量 E、泊松比 ν 在各向同性材料中關係：G=E/[2(1+ν)]（鋼 ν≈0.3 → G≈E/2.6）；與體積模量 K 關係：G=3K(1-2ν)/(2(1+ν))。流體（液體、氣體）G=0，無法承受剪切應力，故不能傳播橫波（剪切波），只能傳播縱波（聲波）。歷史：庫倫 1784 年研究扭轉、納維 1821 年與柯西 1822 年建立彈性理論。剪切模量的重要應用：第一，機械設計——軸件、彈簧、鉚釘、銷的剪切強度計算；第二，建築抗震——結構鋼材 G 決定抗震剛性；第三，地震學——橫波（S 波）速度 v_s=√(G/ρ)，用於地球內部分層；第四，地質力學——岩層剪切帶與斷層滑動；第五，生物力學——骨骼、軟骨、血管剪切性質。使用剪切模量公式要注意：第一，只在彈性範圍內成立——超過剪切降伏強度後進入塑性變形；第二，需用一致 SI 單位（F 用 N、L 與 Δx 用 m、A 用 m²，G 為 Pa）；第三，剪切模量是材料固有性質，與試件尺寸無關；第四，本計算器各輸入取非負值。總之，本計算器讓你由剪切力與横向位移快速算出材料的剪切模量，是理解材料抗剪剛性、機械設計與地震波傳播的實用工具。
計算公式
剪切模量：G = τ/γ = F·L/(A·Δx)（單位 Pa）
剪應力：τ = F/A
剪應變：γ = Δx/L（無因次）
與楊氏模量關係：G = E/[2(1+ν)]
橫波速度：v_s = √(G/ρ)
$$G = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{F\,L}{A\,\Delta x}, \quad \tau = \frac{F}{A}, \quad \gamma = \frac{\Delta x}{L}, \quad G = \frac{E}{2(1+\nu)}, \quad v_s = \sqrt{\frac{G}{\rho}}$$使用說明
- 輸入剪切力 F（N）與受剪面積 A（m²）。
- 輸入剪切面間距 L（m）與横向位移 Δx（m）。
- 右側即時顯示剪切模量 G（Pa、GPa）、剪應力 τ 與剪應變 γ。
常見材料的剪切模量（近似值）
| 材料 | G (GPa) | G (Pa) | 泊松比 ν | 應用 |
|---|---|---|---|---|
| 橡膠 | 0.0003 | 3e5 | 0.4999 | 密封 |
| 木材 | 1 | 1e9 | 0.33 | 建築 |
| 玻璃 | 30 | 3e10 | 0.22 | 窗戶 |
| 鋁 | 26 | 2.6e10 | 0.33 | 航空 |
| 銅 | 48 | 4.8e10 | 0.34 | 電纜 |
| 鋼 | 79 | 7.9e10 | 0.30 | 結構 |
| 鑽石 | 470 | 4.7e11 | 0.20 | 切割 |
G 越大越難剪切變形。鋼約 79 GPa、橡膠僅 0.3 MPa，相差 2.6×10⁵ 倍。流體 G≈0，故不能傳橫波。G=E/[2(1+ν)]，鋼 E=200GPa、ν=0.3 → G≈77 GPa。
理財情境案例
鋼材剪切模量測定
鋼試件 F=1000 N、A=1×10⁻⁴ m²、L=1 m、Δx=1.26×10⁻⁴ m。
τ=F/A=1000/1e-4=1×10⁷ Pa；γ=Δx/L=1.26e-4。
G=τ/γ=1e7/1.26e-4≈7.94×10¹⁰ Pa≈79.4 GPa，符合鋼典型值。
鋁合金軸件變形估算
鋁 G≈26 GPa、軸徑使 A=2×10⁻⁴ m²、L=0.5 m、受剪力 F=200 N。
剪應變 γ=F/(A·G)=200/(2e-4×2.6e10)=3.85×10⁻⁵。
横向位移 Δx=γ·L=3.85e-5×0.5≈1.92×10⁻⁵ m=19.2 μm，遠大於同條件下鋼的 6.3 μm。
常見問題
剪切模量 G 與楊氏模量 E 有何區別？
E 描述材料在拉伸或壓縮下的剛性（長度變化），G 描述在剪切下的剛性（形狀變化但體積不變）。對各向同性材料，兩者由泊松比 ν 聯繫：G=E/[2(1+ν)]。鋼 E=200 GPa、ν=0.3 → G≈77 GPa，約為 E 的 38%。流體 E、G 皆近似零，無法承受剪切。
為什麼流體不能傳播橫波？
橫波（剪切波）靠剪切模量 G 提供恢復力，波速 v_s=√(G/ρ)。流體（液體、氣體）G≈0，無法承受剪切應力，故不能傳播橫波，只能傳播縱波（壓縮波，靠體積模量 K）。地震 S 波無法穿透地球外核，證明外核為液態。固體 G、K 皆不為零，可同時傳播 P 波與 S 波。
剪切模量與泊松比有什麼關係？
對各向同性材料，G=E/[2(1+ν)]，故 G 與 ν 呈反向關係：ν 越大，G 越小（固定 E 下）。泊松比 ν 介於 -1 與 0.5 之間，ν=0.5 時材料不可壓縮（如橡膠 ν≈0.4999）。常用金屬 ν≈0.3，故 G≈E/2.6。auxetic 材料 ν<0，拉伸時横向膨脹，G 反而高於 E/2 的預測。
如何測量材料的剪切模量？
(1) 扭轉試驗——圓軸扭轉測角位移，精度高；(2) 雙懸臂剪切——矩形條受力測撓度；(3) 超聲波——測橫波速度 v_s 反推 G=ρ·v_s²；(4) 動態機械分析（DMA）——振盪負荷測儲存模量；(5) 純剪切試件——Iosipescu 法。金屬用扭轉或超聲；橡膠用 DMA；地層用地震波速度反推。
剪切模量什麼時候不適用？
只在彈性範圍（剪切比例極限）內成立。當剪應力超過剪切降伏強度 τ_y 時，材料進入塑性變形，G 的線性關係失效；進一步增大至剪切強度 τ_u 時材料斷裂。塑性變形與應變硬化、應變速率、溫度相關，需用塑性力學模型（如 Prandtl-Reuss）。高溫下材料潛變，需用黏彈性模型。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。G=τ/γ=F·L/(A·Δx)；τ=F/A；γ=Δx/L。鋼 F=1000 N、A=1e-4 m²、L=1 m、Δx=1.26e-4 m → G≈79.4 GPa、τ=1e7 Pa、γ=1.26e-4。G=E/[2(1+ν)]；橫波速度 v_s=√(G/ρ)。