泊松比計算器
輸入軸向應變 ε_axial、横向應變 ε_lateral 與剪切模量 G，依 ν=-ε_lateral/ε_axial 即時算出泊松比，並由 E=2G(1+ν) 推得楊氏模量。ε_axial=0.001, ε_lateral=-0.0003, G=79.3GPa → ν=0.3, E≈206 GPa。
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計算結果
重點速覽：泊松比（Poisson's ratio，符號 ν 或 μ）是材料彈性常數之一，描述材料受軸向載荷時横向變形與軸向變形的比值：ν=-ε_lateral/ε_axial=-(Δd/d)/(ΔL/L)，負號使一般固體（拉伸時横向收縮）ν 為正。無因次，理論範圍各向同性材料 -1≤ν≤0.5。泊松比由法國數學家西梅翁·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）1827 年提出。常見材料泊松比：軟木塞 ≈0（無横向膨脹，故作葡萄酒瓶塞不擠爆）、鋼 0.27-0.30、鋁 0.33、銅 0.34、玻璃 0.22、混凝土 0.20、橡膠 0.4999（近似不可壓縮）、auxetic 材料 ν<0（拉伸時横向膨脹，用於醫療支架、防護裝備）。泊松比與楊氏模量 E、剪切模量 G、體積模量 K 關係：G=E/[2(1+ν)]，K=E/[3(1-2ν)]。當 ν=0.5 時 K→∞（不可壓縮，如橡膠）；當 ν=0 時 K=E/3、G=E/2（如軟木塞）。由剪切模量反推楊氏模量：E=2G(1+ν)。實驗測泊松比常用電阻應變片同時測軸向與横向應變；或由聲速測量（縱波 v_p 與橫波 v_s）反推 ν=(v_p²-2v_s²)/(2(v_p²-v_s²))。泊松比的應用：第一，材料力學——彈性常數換算與應力分析；第二，結構工程——混凝土、鋼結構受載横向變形；第三，地層力學——岩層泊松比影響地應力與鑽井穩定性；第四，生物力學——軟組織（肌肉、血管）ν≈0.49 近似不可壓縮；第五，複合材料——多層板的横向變形協調。使用泊松比公式要注意：第一，只在彈性範圍內成立；第二，材料需各向同性（横向同性與正交各向異性需用張量泊松比）；第三，負泊松比材料（auxetic）拉伸時横向膨脹，剪切強度與抗斷裂性提升。總之，本計算器讓你由應變與剪切模量快速算出泊松比與楊氏模量，是材料力學與彈性常數換算的實用工具。
計算公式
泊松比：ν = -ε_lateral/ε_axial = -(Δd/d)/(ΔL/L)
由剪切模量反推楊氏模量：E = 2G(1+ν)
與體積模量關係：K = E/[3(1-2ν)]
剪切模量：G = E/[2(1+ν)]
聲速反推：ν = (v_p²-2v_s²)/(2(v_p²-v_s²))
$$\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}} = -\frac{\Delta d/d}{\Delta L/L}, \quad E = 2G(1+\nu), \quad K = \frac{E}{3(1-2\nu)}, \quad G = \frac{E}{2(1+\nu)}$$使用說明
- 輸入軸向應變 ε_axial 與横向應變 ε_lateral（無因次，負號表示收縮）。
- 輸入剪切模量 G（Pa）以反推楊氏模量。
- 右側即時顯示泊松比 ν、高精度應變值與楊氏模量 E=2G(1+ν)。
常見材料的泊松比與彈性常數
| 材料 | 泊松比 ν | E (GPa) | G (GPa) | K (GPa) |
|---|---|---|---|---|
| 軟木塞 | 0.00 | 5 | 2.5 | 1.67 |
| 混凝土 | 0.20 | 30 | 12.5 | 16.7 |
| 玻璃 | 0.22 | 70 | 28.7 | 41.7 |
| 鋼 | 0.30 | 200 | 76.9 | 166.7 |
| 鋁 | 0.33 | 70 | 26.3 | 69.3 |
| 銅 | 0.34 | 110 | 41.0 | 114.6 |
| 橡膠 | 0.4999 | 0.001 | 0.0003 | 16.7 |
ν 越接近 0.5 越不可壓縮（橡膠 ν≈0.4999，K/E 比趨無窮大）。ν=0 時 G=E/2、K=E/3（軟木塞）。auxetic 材料 ν<0，拉伸時横向膨脹。E、G、K、ν 中任兩個可決定全部。
理財情境案例
鋼材泊松比測定
用電阻應變片測得鋼試件 ε_axial=0.001、ε_lateral=-0.0003。
ν=-(-0.0003)/0.001=0.300，符合鋼典型值 0.27-0.30。
已知鋼 G=79.3 GPa，E=2G(1+ν)=2×79.3×1.3=206.2 GPa，與鋼 E≈200 GPa 一致。
橡膠近似不可壓縮
橡膠 ν≈0.4999，密度幾乎不變，K=E/[3(1-2ν)] 趨於極大值。
E=0.001 GPa、ν=0.4999 → K=0.001/[3×0.0002]=1.67 GPa，遠大於 E。
故橡膠受載時體積幾乎不變，僅形狀改變，剪切模量 G≈E/3=0.33 MPa，與實測 0.3 MPa 吻合。
常見問題
泊松比為什麼一般為正值？
大多數材料受軸向拉伸時横向收縮（變細），故 ε_lateral 與 ε_axial 反號，加負號後 ν 為正。常用金屬 ν 在 0.25-0.35。橡膠 ν≈0.4999 接近理論上限，因分子鏈糾纏使體積難以改變。軟木塞 ν≈0 因其細胞結構使横向不膨脹。auxetic（負泊松比）材料 ν<0，結構特殊（如內凹蜂窩），拉伸時横向反而膨脹。
為什麼泊松比理論範圍是 -1 到 0.5？
由熱力學穩定性條件：剪切模量 G>0、體積模量 K>0 推得。G=E/[2(1+ν)]>0 要求 ν>-1；K=E/[3(1-2ν)]>0 要求 ν<0.5。故各向同性材料 ν 必在 -1 與 0.5 之間。ν=0.5 時 K→∞ 不可壓縮；ν=-1 時 G→∞ 剛性無限。實際材料 0<ν<0.5 之間，無常規固體接近 -1。
泊松比與楊氏模量、剪切模量有何關係？
各向同性材料僅需兩個彈性常數即可決定全部：G=E/[2(1+ν)]、K=E/[3(1-2ν)]。故已知 G 與 ν 可推 E=2G(1+ν)，已知 E 與 ν 可推 G。常用金屬 ν≈0.3 → G≈E/2.6、K≈E/1.2。本計算器由 G 與 ν 反推 E。實驗上常用應變片測 E 與 ν，再用扭轉試驗或超聲波測 G 驗證。
auxetic（負泊松比）材料有何特殊性？
auxetic 材料 ν<0，受拉伸時横向反而膨脹，受壓時横向收縮。其微觀結構具內凹幾何（如 re-entrant honeycomb、旋轉立方體）。特性：剪切模量 G 比同密度常規材料高、抗凹陷性強、能量吸收高、可變孔隙度。應用於醫療支架（撐開血管）、防護裝備、隔音墊、可變濾網。天然 auxetic 例子少見，多為人工結構。
為什麼軟木塞泊松比接近零？
軟木塞由死細胞組成，細胞內含氣，受壓時氣室壓縮而非横向膨脹，故 ε_lateral≈0、ν≈0。這使軟木塞受力時直徑幾乎不變，可緊密塞入瓶口又不擠爆瓶頸，是葡萄酒瓶塞的首選材料。軟木 ν≈0、E≈5 MPa、G≈2.5 MPa、K≈1.67 MPa，密度低且不透水，自古典時期即作容器密封。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ν=-ε_lateral/ε_axial；E=2G(1+ν)；K=E/[3(1-2ν)]；G=E/[2(1+ν)]。ε_axial=0.001、ε_lateral=-0.0003 → ν=0.300；G=79.3 GPa → E=2×79.3×1.3≈206.2 GPa。理論範圍 -1≤ν≤0.5。