體積模量計算器
輸入初始體積、壓力變化與體積模量，計算體積變化、體積應變與壓縮係數。K=2.2GPa, V=1m³, ΔP=10MPa → ΔV≈-0.004545m³, β≈4.545e-10 1/Pa。
輸入資料
計算結果
重點速覽：體積模量（bulk modulus）K：材料抗均勻各向壓縮能力的度量，定義 K=-V·(dP/dV)=-ΔP/(ΔV/V)，單位 Pa（與壓力同）。負號使 K 恆正（壓力增大體積減小，dP與dV異號）。體積應變 ε_v=ΔV/V 無因次，故 K=-ΔP/ε_v。倒數 β=1/K 稱等溫壓縮係數（compressibility），單位 1/Pa，衡量可壓縮性：β 越大越易壓縮。固體 K 高（鋼 160GPa、鋁 76GPa），液體次之（水 2.2GPa、油 1.5GPa、汞 28.5GPa），氣體 K 最低（空氣等溫 K=P≈0.1MPa，極易壓縮）。流體無剪變模量 G，僅能承受體積應變，故只傳縱波（聲波），聲速 c=√(K/ρ)（液體）、c=√(γP/ρ)（氣體）。水的 K 隨壓力溫度略變（20°C、1atm 為 2.2GPa，深海高壓略升）。體積模量與楊氏模量 E、泊松比 ν 關係：K=E/[3(1-2ν)]，故 ν→0.5 時 K→∞（不可壓縮，橡膠近似）。歷史：楊 1807 年彈性模量、拉梅 1852 年完整彈性理論。應用：(1) 液壓系統剛性與響應；(2) 聲速計算 c=√(K/ρ)；(3) 深海與高壓物理；(4) 水錘效應與壓力波；(5) 地震學地球內部波速。
計算公式
體積模量：K = -V·ΔP/ΔV = -ΔP/(ΔV/V)
體積變化：ΔV = -V·ΔP/K
體積應變：ε_v = ΔV/V = -ΔP/K
壓縮係數：β = 1/K
末體積：V₂ = V + ΔV = V·(1 - ΔP/K)
聲速：c = √(K/ρ)（液體）
$$K = -V\frac{\Delta P}{\Delta V} = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}, \quad \Delta V = -\frac{V\Delta P}{K}, \quad \beta = \frac{1}{K}, \quad c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$使用說明
- 輸入初始體積 V、壓力變化 ΔP 與材料體積模量 K。
- 系統計算 ΔV=-V·ΔP/K、體積應變 ΔV/V、壓縮係數 β=1/K、末體積 V+ΔV。
- 常用：水 K=2.2GPa、V=1m³、ΔP=10MPa → ΔV≈-0.004545m³、β≈4.545e-10 1/Pa，水僅壓縮 0.45%。
常見材料體積模量與 10MPa 壓力下的壓縮（V=1m³）
| 材料 | K (GPa) | β (1/Pa) | ΔV (m³) | 體積應變 ΔV/V |
|---|---|---|---|---|
| 水(20°C) | 2.2 | 4.545e-10 | -0.004545 | -4.545e-3 |
| 液壓油 | 1.5 | 6.667e-10 | -0.006667 | -6.667e-3 |
| 汞 | 28.5 | 3.509e-11 | -0.000351 | -3.509e-4 |
| 玻璃 | 35 | 2.857e-11 | -0.000286 | -2.857e-4 |
| 鋁 | 76 | 1.316e-11 | -0.000132 | -1.316e-4 |
| 鋼 | 160 | 6.250e-12 | -0.0000625 | -6.250e-5 |
K 越大越難壓縮。水在 10MPa 下僅壓縮 0.45%，鋼僅 0.006%。液壓油比水更易壓縮，影響液壓系統剛性。聲速 c=√(K/ρ)，水 1480m/s、鋼 5900m/s。
理財情境案例
液壓系統剛性分析
液壓機用液壓油 K=1.5GPa，油缸容積 0.01m³，工作壓力 20MPa。
油被壓縮 ΔV=-0.01×2e7/1.5e9=-0.000133m³=133mL，相當於油缸體積 1.33%。
此壓縮量使液壓缸有彈性遲滯，高頻響應時需補償；改用高 K 油或減小容積可提升剛性。
水中的聲速
聲速 c=√(K/ρ)。水 K=2.2GPa、ρ=1000kg/m³，c=√(2.2e9/1000)=1483m/s。
遠快於空氣 343m/s，因水 K 雖高但密度也高；海水約 1530m/s（鹽度溫度影響）。
聲納利用水中聲速測距與探測潛艇，深海聲道可讓聲波傳播數千公里。
常見問題
體積模量與楊氏模量有何差別？
楊氏模量 E 描述單軸拉伸/壓縮下的抗拉剛度（桿狀變形），體積模量 K 描述均勻各向壓力下的抗壓縮能力（體積變化）。剪變模量 G 描述剪切變形。三者在各向同性材料中由泊松比 ν 聯繫：K=E/[3(1-2ν)]、G=E/[2(1+ν)]。流體 E、G 為零（不能抗剪），但 K 不為零（能抗壓），故流體彈性只用 K 描述。
為什麼水幾乎不可壓縮？
水的 K=2.2GPa 很高，10MPa 壓力下僅壓縮 0.45%。深海 10km（100MPa）也只壓縮約 4.5%。這因水分子間氫鍵與電偶極作用力強，分子已緊密排列，難再靠近。故工程上常假設水不可壓縮（ρ 恆定），但聲速、水錘效應等必須計入壓縮性。氣體 K=P≈0.1MPa 極低，極易壓縮。
壓縮係數 β 越大代表什麼？
β=1/K，單位 1/Pa，數值越大表示越易壓縮。水 β=4.5e-10、油 6.7e-10（油比水易壓縮）、鋼 6.3e-12（極難壓縮）。液壓系統選油常選低 β（高 K）以提升剛性。地層水 β 影響石油開採的彈性驅動能量；地下水 β 影響含水層儲水係數。β 隨溫度壓力變化，需查實測表。
為什麼流體只能傳遞縱波？
波動傳播需介質能提供恢復力。縱波（壓縮波）靠體積模量 K 恢復體積應變，流體有 K 故能傳縱波（聲波）。橫波（剪切波）靠剪變模量 G 恢復剪切應變，流體 G=0（不能抗剪）故不能傳橫波。固體 K、G 均不為零，故能同時傳縱波與橫波（地震 P 波與 S 波）。地震學利用此特性判斷地球外核為液態（S 波無法穿透）。
水錘效應與體積模量有何關係？
閥門突然關閉使水流驟停，動能轉為壓力能，壓力波以聲速 c=√(K/ρ) 在管中傳播。水 K 高（2.2GPa）使 c≈1480m/s，壓力波反射疊加產生巨大瞬時壓力（可達數 MPa），足以爆管。水錘壓力 ΔP=-ρ·c·Δv（Joukowsky 方程），c 由 K 決定。緩關閥、設置氣囊或水錘消除器可減輕危害；管壁彈性也會降低等效波速。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。K=-V·ΔP/ΔV，β=1/K，ΔV=-V·ΔP/K。水 K=2.2GPa、V=1m³、ΔP=10MPa → ΔV≈-0.004545m³、β≈4.545e-10 1/Pa、體積應變≈-4.545e-3。聲速 c=√(K/ρ)，水 1483m/s。泊松比 ν→0.5 時 K→∞（不可壓縮）。