相對論速度疊加計算器
輸入觀察者速度 v、物體速度 u' 與光速 c，計算相對論速度疊加 u=(v+u')/(1+vu'/c²)。v=2e8、u'=1e8、c=3e8 → u≈2.4545e8 m/s。
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計算結果
重點速覽：相對論速度疊加（Relativistic velocity addition）：愛因斯坦 1905 年狹義相對論中，兩慣性參考系間的速度變換公式 u=(v+u')/(1+v·u'/c²)，其中 v 為觀察者相對另一慣性系的速度、u' 為物體在該慣性系中的速度、c 為光速。此公式取代了牛頓力學中的伽利略速度疊加 u=v+u'，確保任何慣性系中觀測到的光速均為 c（光速不變原理）。當 v≪c 且 u'≪c 時，vu'/c²→0，公式退化為經典疊加 u≈v+u'；當 v=c 或 u'=c 時，u=c（光速為極限速度）。歷史：愛因斯坦 1905 年發表狹義相對論；閔可夫斯基 1908 年以四維時空幾何詮釋。經典例：v=2e8 m/s、u'=1e8 m/s、c=3e8 → u=3e8/(1+2/9)=2.4545e8 m/s（小於 c）；v=0.9c、u'=0.9c → u=0.9945c。應用：(1) 粒子加速器——對撞機中粒子合成速度；(2) 天文物理——相對論性噴流視速度修正；(3) GPS 衛星——相對論時空修正；(4) 宇宙射線——大氣中 μ 子速度疊加；(5) 光行差——恆星光行差修正。
計算公式
相對論速度疊加：u = (v + u') / (1 + v·u'/c²)
光速不變：v=c 或 u'=c → u=c
經典極限：v≪c, u'≪c → u ≈ v + u'（伽利略疊加）
逆變換：u' = (u - v) / (1 - v·u/c²)
四維速度：U^μ = γ(c, u), γ = 1/√(1-u²/c²)
$$u = \frac{v + u'}{1 + \dfrac{v \cdot u'}{c^2}}$$使用說明
- 輸入觀察者速度 v（m/s）、物體速度 u'（m/s）、光速 c（m/s）。
- 系統計算 u=(v+u')/(1+vu'/c²)（m/s）、速度比 u/c、分母。
- 常用：v=2e8、u'=1e8、c=3e8 → u≈2.4545e8 m/s（u<c）；v=0.9c、u'=0.9c → u≈0.9945c。
相對論速度疊加範例（c=3e8 m/s）
| v (c) | u' (c) | 經典 v+u' (c) | 相對論 u (c) | 誤差 |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.1 | 0.2 | 0.198 | 1% |
| 0.5 | 0.5 | 1.0 | 0.8 | 20% |
| 0.9 | 0.9 | 1.8 | 0.9945 | 45% |
| 0.99 | 0.99 | 1.98 | 0.99995 | 49% |
| 0.3 | 0.4 | 0.7 | 0.663 | 5% |
| 1.0 | 1.0 | 2.0 | 1.0 | 50% |
| 0.6 | 0.8 | 1.4 | 0.946 | 32% |
u=(v+u')/(1+vu'/c²)。當 v、u'<0.1c 時相對論修正小於 1%，牛頓力學適用；v、u'>0.5c 時誤差顯著，必須使用相對論公式。u 永不超過 c。
理財情境案例
粒子加速器對撞速度
LHC 中兩束質子各以 0.99999999c 對撞，經典疊加為 1.99999998c（超光速），相對論疊加 u=(0.99999999c+0.99999999c)/(1+0.99999999²)≈0.99999999c。
質子永不到達光速 c，但動能可無限增大（γ→∞），LHC 質子動能 7 TeV 遠超靜止質能 938 MeV。
相對論保證因果律：信息傳遞速度不超過 c，避免時間倒序悖論。
宇宙射線 μ 子穿過大氣
宇宙射線在大氣頂層產生 μ 子，速度 0.998c，壽命 2.2 μs，經典力學僅飛行 660 m，但實際到達地面（15 km）。
從 μ 子參考系，地球大氣以 0.998c 接近，大氣厚度經長度收縮為 15×√(1-0.998²)=0.95 km，μ 子壽命內可穿過。
從地面參考系，μ 子時間膨脹 τ=γ×2.2 μs=15.7×2.2=34.5 μs，飛行 0.998×3e8×34.5e-6≈10.3 km，可到達地面。速度疊加確保 μ 子速度 <c。
常見問題
為什麼相對論速度疊加不超過光速？
公式 u=(v+u')/(1+vu'/c²) 的分母 1+vu'/c² 隨速度增大而增大，抵消了分子的增長。當 v 和 u' 均接近 c 時，分子接近 2c 但分母接近 2，故 u≈c。數學上可證明：若 0≤v<c 且 0≤u'<c，則 u<c（光速為速度上限）。這是光速不變原理的數學體現。
什麼時候可以用經典速度疊加 u≈v+u'？
當 v 和 u' 遠小於光速 c 時（v≪c 且 u'≪c），vu'/c²→0，分母→1，u≈v+u'。具體：v、u'<0.1c 時誤差<1%；v、u'<0.3c 時誤差<5%；v、u'>0.5c 時必須使用相對論公式。日常速度（汽車 30 m/s、飛機 300 m/s）遠小於 c=3e8 m/s，牛頓力學完全適用。
逆變換公式是什麼？
若已知合成速度 u 和觀察者速度 v，求物體在觀察者參考系中的速度 u'：u'=(u-v)/(1-v·u/c²)。這是速度疊加的逆運算。例如 u=0.8c、v=0.5c → u'=(0.8c-0.5c)/(1-0.4)=0.3c/0.6=0.5c。逆變換保持光速不變：u=c → u'=c。
光速為什麼是速度極限？
狹義相對論中，有質量物體的速度無法到達光速 c，因為 γ=1/√(1-v²/c²)→∞ 時動能 E=(γ-1)mc²→∞，需要無限能量。光子靜質量為 0，始終以 c 運動。速度疊加公式確保任何慣性系中光速均為 c。超光速（快子）在標準模型中不存在，且會違反因果律。
相對論速度疊加與都卜勒效應的關係？
相對論性都卜勒效應 f'=f·√((1+β)/(1-β)) 中的 β=v/c 直接依賴相對論速度疊加。當光源與觀察者間有相對速度時，光的頻率變化需用相對論修正。天文學中紅移測量遙遠星系退行速度，v>0.1c 時必須用相對論公式。GPS 衛星（v=3.87 km/s）的相對論修正雖小但必須計入。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。相對論速度疊加 u=(v+u')/(1+vu'/c²)，確保 u≤c。v=2e8、u'=1e8、c=3e8 → u≈2.4545e8 m/s。v=u'=c → u=c。當 v、u'<0.1c 退化為伽利略疊加 u≈v+u'。LHC 質子 0.99999999c 對撞合成速度仍 <c。