相對論速度疊加計算器
輸入觀察者速度、物體相對速度與光速，計算疊加速度。v=0.5c, u'=0.5c → u=0.8c。
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計算結果
重點速覽：相對論速度疊加公式（Albert Einstein 1905，《論動體的電動力學》）：在狹義相對論中，當觀察者以速度 v 運動、物體在觀察者參考系中以 u' 運動，則在靜止參考系中物體速度 u=(v+u')/(1+vu'/c²)，c 為光速。物理意義：(1) 當 v、u' ≪ c 時分母≈1，u≈v+u'（牛頓力學近似）；(2) 當 v 或 u' 接近 c 時分母顯著大於1，疊加速度小於 v+u'；(3) 當 v=c 且 u'=c 時 u=(c+c)/(1+1)=c——光速不可超越，兩個 c 疊加仍為 c；(4) 任何小於 c 的速度疊加結果仍小於 c。推導：從勞倫茲變換 x'=γ(x-vt)、t'=γ(t-vx/c²) 微分得 dx'/dt'=u'，dx/dt=u。u=dx/dt=(dx'+v dt')/(dt'+v dx'/c²)=(u'+v)/(1+vu'/c²)。歷史：Einstein 1905 狹義相對論推翻以太假設，光速不變原理為基石。應用：(1) 粒子加速器（LHC 質子 0.999999991c）；(2) 太空旅行（相對論效應顯著）；(3) 相對論動力學、動量能量；(4) 全球定位系統 GPS（衛星速度修正）；(5) μ子壽命延長（宇宙射線）。
計算公式
速度疊加：u = (v + u') / (1 + v·u'/c²)
牛頓近似：v, u' ≪ c → u ≈ v + u'
光速極限：v=c, u'=c → u = c
勞倫茲變換：x' = γ(x - vt), t' = γ(t - vx/c²)
勞倫茲因子：γ = 1/√(1 - v²/c²)
$$u = \frac{v + u'}{1 + \frac{v u'}{c^2}}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad x' = \gamma(x - vt)$$使用說明
- 輸入觀察者速度 v（m/s，0.5c=1.5e8）。
- 輸入物體速度 u'（m/s，0.5c=1.5e8）。
- 輸入光速 c（m/s，299792458）。
- 系統計算疊加速度 u 與速度比 u/c。
v=0.5c 各 u' 的疊加速度
| u'/c | u' (m/s) | u (m/s) | u/c | 牛頓 u/c |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 3e7 | 1.8e8 | 0.600 | 0.600 |
| 0.3 | 9e7 | 2.07e8 | 0.690 | 0.800 |
| 0.5 | 1.5e8 | 2.40e8 | 0.800 | 1.000 |
| 0.9 | 2.7e8 | 2.91e8 | 0.972 | 1.400 |
| 1.0 | 3e8 | 3.00e8 | 1.000 | 1.500 |
牛頓疊加 v+u' 超過 c 違反相對論。相對論疊加始終 ≤c。u'=c 時 u=c（光速不變）。
理財情境案例
粒子加速器與質子對撞
CERN 大型強子對撞機（LHC）質子能量 7 TeV，速度 0.999999991c（僅差 3 m/s）。兩束質子對向運動，疊加速度 u=(0.999999991c+0.999999991c)/(1+0.999999991²)≈0.999999991c（非 1.999999982c）。
但對撞等效質心能量為 14 TeV（兩束 7 TeV 對撞）。相對論動量 p=γmv、能量 E=γmc²，非速度疊加。
香港大學物理系參與 LHC ATLAS 實驗，尋找希格斯玻色子（2012 發現，2013 諾貝爾獎）。相對論速度疊加為粒子物理基礎。
μ子壽命延長與太空旅行
宇宙射線在 10km 高空產生 μ子，靜止壽命 2.2μs，以 0.99c 運動。牛頓計算走 0.99c×2.2μs≈653m，不能到地面。但時間膨脹 τ=γ×2.2μs=7.09×2.2=15.6μs，走 0.99c×15.6μs≈4.6km，仍不足。
從 μ子參考系，長度收縮 L'=L/γ=10/7.09≈1.41 km，μ子壽命 2.2μs 走 0.99c×2.2μs=0.653 km < 1.41 km。實際到達地面由兩效應共同解釋。
未來星際旅行：0.99c 飛船，γ=7.09。從地球看飛船時間膨脹 7 倍，船員老得慢。香港科幻文化《星際效應》、《三體》皆用相對論。
常見問題
為什麼光速是速度極限？
狹義相對論：有質量物體加速到 c 需無限大能量 E=γmc²，γ→∞ 當 v→c。無質量粒子（光子、引力子）以 c 運動。速度疊加 u=(v+u')/(1+vu'/c²)<c 當 v、u'<c。當 v=u'=c 時 u=c（不可超越）。廣義相對論：信息傳播速度不可超 c，因果律保證。超光速（快子 tachyon）假設違反因果，未觀測到。
為什麼 v=0.5c+u'=0.5c 不是 c？
牛頓力學 u=v+u'=0.5c+0.5c=c，看似合理。但相對論 u=(0.5c+0.5c)/(1+0.5×0.5)=c/1.25=0.8c。差別在分母 1+vu'/c²=1.25。這是因為時間膨脹與長度收縮使運動參考系中速度測量改變。實驗驗證：粒子加速器中兩束 0.999c 質子對撞，疊加速度 0.999999c 而非 1.998c。
速度疊加公式如何推導？
從勞倫茲變換 x'=γ(x-vt)、t'=γ(t-vx/c²) 微分：dx'=γ(dx-v dt)、dt'=γ(dt-v dx/c²)。u'=dx'/dt'=(dx-v dt)/(dt-v dx/c²)。反解 dx/dt=u=(u'+v)/(1+vu'/c²)。推導保證光速不變：若 u'=c（光在運動系），u=(c+v)/(1+v/c)=c。故光速在所有慣性系中相同。
GPS 為什麼需要相對論修正？
GPS 衛星速度 3.87 km/s（v/c≈1.3e-5），狹義相對論時間膨脹每日 -7.2 μs（慢）。衛星離地 20200 km，廣義相對論引力時間膨脹每日 +45.9 μs（快）。淨 +38.6 μs/日。若不修正，定位誤差累積 10 km/日。香港 GPS、北斗、Galileo 皆內建相對論修正。證明相對論實用價值。
超光速可能嗎？
局域信息速度不可超 c（相對論因果律）。但宇宙膨脹速度可超 c（空間本身膨脹非物體運動）——哈伯距離外星系遠離速度 >c。量子糾纏「鬼魅般超距作用」看似瞬時但不可傳輸信息（貝爾定理驗證）。假設快子（tachyon）超光速但違反因果，未觀測。ER=EPR 橋、阿爾庫別瑞引擎（曲速引擎）為廣義相對論數學解但需奇異物質，尚不可行。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。u=(v+u')/(1+vu'/c²)。Einstein 1905。光速極限。勞倫茲變換推導。粒子加速器、GPS、μ子壽命。