相對論動量計算器
輸入靜止質量與速度，計算相對論動量 p=γmv、洛倫茲因子 γ、總能與動能。
輸入資料
計算結果
重點速覽：相對論動量（relativistic momentum）：p = γmv = mv/√(1−v²/c²)，其中 γ=1/√(1−β²) 為洛倫茲因子、β=v/c 為速度比、m 為靜止質量、c=299792458 m/s 為光速。低速（v≪c）時 γ≈1、p≈mv（牛頓極限）；高速（v→c）時 γ→∞、動量遠大於牛頓值，並趨於無窮大——這是有質量物體無法達到光速的根本原因。總能 E=γmc²、靜能 E₀=mc²、動能 KE=(γ−1)mc²。經典：v=0.8c → β=0.8、γ=1/√(1−0.64)=1/0.6=5/3≈1.667，動量為牛頓值的 1.667 倍。本工具輸入靜止質量與速度，輸出 γ、β、相對論動量、牛頓動量、總能與動能。廣泛用於粒子加速器設計、宇宙射線研究、相對論性電子顯微鏡等領域。
計算公式
洛倫茲因子：γ = 1 / √(1 − v²/c²)
速度比：β = v / c
相對論動量：p = γ · m · v
牛頓動量：p_N = m · v
總能：E = γ · m · c²
動能：KE = (γ − 1) · m · c²
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$$$\beta = \frac{v}{c}$$$$p = \gamma m v$$使用說明
- 輸入靜止質量 m₀（kg）與速度 v（m/s）。常見：電子 9.11e-31、質子 1.67e-27。
- 速度 v 必須小於光速 c=299792458 m/s，否則 γ 無定義（除零）。
- 輸出洛倫茲因子 γ、相對論動量、牛頓動量、總能 E 與動能 KE。
m=1kg 物體在不同速度下的洛倫茲因子 γ
| 速度 v | β = v/c | γ | 相對論/牛頓動量比 |
|---|---|---|---|
| 0.1c | 0.1 | 1.005 | 1.005 |
| 0.3c | 0.3 | 1.048 | 1.048 |
| 0.5c | 0.5 | 1.155 | 1.155 |
| 0.8c | 0.8 | 1.667 | 1.667 |
| 0.9c | 0.9 | 2.294 | 2.294 |
| 0.99c | 0.99 | 7.089 | 7.089 |
v≪c 時 γ≈1（牛頓極限）；v→c 時 γ→∞，有質量物體無法達到光速。
理財情境案例
粒子加速器中的質子動量
大型強子對撞機（LHC）將質子加速至 v=0.999999991c。
對應 γ≈7461、β≈0.999999991。
牛頓動量 mv 遠低估實際動量；相對論動量 p=γmv 才是設計磁彎曲半徑的依據。
為何電子顯微鏡需要相對論修正
200keV 電子顯微鏡中電子動能 KE=200keV ≈ 3.2e-14 J。
電子靜能 m_e c²=511keV，γ=1+KE/(m c²)≈1.391、β≈0.695。
相對論動量比牛頓動量大 39%，電子波長計算必須使用相對論公式。
常見問題
為什麼有質量物體無法達到光速？
當 v→c 時 γ=1/√(1−β²)→∞，相對論動量 p=γmv 與動能 KE=(γ−1)mc² 同時趨於無窮大。要繼續加速需要無限大的能量，這在物理上不可能。光速 c 是有質量物體的速度上限。
低速時是否需要相對論修正？
當 v≪c 時 γ≈1+½β²（泰勒展開），相對論動量 p≈mv(1+½β²)。例如 v=0.1c 時誤差僅 0.5%、v=0.01c 時誤差僅 0.005%。日常速度（<10000 m/s）相對論修正可忽略，牛頓力學已足夠精確。
相對論動量與總能有什麼關係？
狹義相對論中能量-動量關係 E²=(pc)²+(mc²)²。靜止物體 p=0、E=mc²（靜能）；運動時 E=γmc²、p=γmv。兩者透過 E²−(pc)²=(mc²)² 這個不變量聯繫。
為什麼光子動量不為零？
光子靜止質量 m=0，但仍具動量 p=E/c=hν/c。這是因為相對論動量-能量關係 E²=(pc)²+(mc²)² 中 m=0 時 E=pc。光壓、太陽帆、康普頓散射都證明光子有動量。
動能公式 KE=(γ−1)mc² 在低速時退化為何？
γ≈1+½β²+¾β⁴，故 KE≈(½β²)mc²=½mv²（牛頓動能）。低速時相對論動能自動回退至牛頓動能，體現對應原理。例如 v=0.1c 時 KE_相對論=4.55e14 J、KE_牛頓=4.50e14 J，誤差 1%。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。p=γmv；γ=1/√(1−β²)；E=γmc²、KE=(γ−1)mc²；v→c 時 γ→∞。