時間膨脹計算器
輸入固有時 Δτ 與參考系相對速度 v，計算洛倫茲因子 γ 與觀測者膨脹時間 Δt' = γ·Δτ（秒 / 年）。適用雙子悖論、粒子衰變。
輸入資料
計算結果
重點速覽：時間膨脹是愛因斯坦 1905 年狹義相對論（Special Relativity）的核心結論之一：若兩個慣性參考系以等速 v 相對移動，則觀測者 A 會量到相對於 A 運動的時鐘 B『走得比較慢』。量化：時鐘 B 自身量到的時間間隔 Δτ（proper time，兩事件發生在同一地點），A 量到的時間 Δt' = γ·Δτ，其中 γ = 1/√(1−β²) ≥ 1、β = v/c。這不是『知覺』或『多普勒效應』，而是時空幾何的本質性質，已被實驗驗證（原子鐘環球飛行、μ 子大氣衰變、GPS 衛星校正）。
計算公式
洛倫茲因子：γ = 1 / √(1 − v²/c²) = 1 / √(1 − β²)，β = v/c。
時間膨脹：Δt' = γ · Δτ （Δτ 為固有時/proper time）。
長度收縮（相關）：L = L_0 / γ（L_0 為固有長度）。
雙子悖論：旅者回來年齡差 = (Δt_earth − Δτ_traveler) 年，關鍵是其中一人必須轉頭（非慣性）。
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$$$\Delta t' = \gamma \, \Delta\tau$$使用說明
- 「時間」欄填入運動時鐘自己經過的固有時 Δτ（s）。例：1 年 = 31,557,600 s。
- 「運動」欄填入兩參考系相對速度 v（m/s）。注意 v/c 非常接近 1 時 γ 才會急遽上升。
- 輸出：β（v/c）、γ（≥1）、Δt'（s / yr）。
- v = 0 → γ = 1 → Δt' = Δτ（牛頓力學極限）。
- 若 v ≥ c 系統自動夾至略低於 c，保持有限 γ。
固有時 = 1 年時，不同 v 下的 γ 與膨脹年數
| v/c 比 β | γ 洛倫茲因子 | Δt'（地球年） | Δτ 旅者年 vs 地球年差 |
|---|---|---|---|
| 0.10 | 1.0050 | 1.0050 | 相差 1.8 天 / 年 |
| 0.50 | 1.1547 | 1.1547 | 相差 56 天 / 年 |
| 0.80 | 1.6667 | 1.6667 | 相差 242 天 / 年 |
| 0.99 | 7.0888 | 7.0888 | 相差 6.09 年 / 年 |
| 0.999 | 22.366 | 22.366 | 相差 21.4 年 / 年 |
理財情境案例
大氣 μ 子為什麼到達地面？——實驗驗證
μ 子是宇宙線撞擊大氣層高層（~15 km）產生的次級粒子，其平均壽命（靜止系）τ_μ ≈ 2.2 µs。
若 v ≈ 0.999 c、沒有時間膨脹：最多能飛 v·τ ≈ 3e8 · 2.2e-6 ≈ 660 m，根本到不了地面。
但 γ = 1/√(1−0.998) ≈ 22.4 → 地面觀測者看到 τ' = γ·τ ≈ 49 µs → 飛行距離 ≈ 14.7 km，正好可以到地面——這是每天都在發生的相對論驗證！
雙子悖論：去獵戶座α 一遊要幾歲？
獵戶座參宿七（Rigel）距地球約 860 ly。以 v = 0.99 c 航行：
地球上看：要 860 / 0.99 ≈ 868.7 年；γ ≈ 7.09。
太空人自己經過：Δτ = Δt_earth / γ ≈ 868.7 / 7.09 ≈ 122.5 年——來回 245 年，對太空人仍是『一輩子飛不完』。
要體驗真正『星際旅行』必須 γ 更大（例如 v = 0.9999 c，γ ≈ 70.7），但這所需能量 ½γmv² 已接近全球數百年產能——物理上允許，工程上極難。
常見問題
時間膨脹是對稱的——我看你慢，你也看我慢？為什麼雙子悖論不對稱？
兩個都是慣性系（等速直線不回頭）時確實對稱。但『雙子回來比較年齡』要求其中一人必須：掉頭、改變速度——即他不是全程的慣性系，對稱被打破。留在地球者大致是慣性系，所以回來時旅行者真的更年輕。
GPS 衛星需要時間膨脹校正嗎？
要！而且兩種：① 狹義相對論（高速運動使衛星鐘慢 ~-7.2 µs/天）；② 廣義相對論（弱重力勢使衛星鐘快 ~+45.9 µs/天）。總淨校正 ~+38.7 µs/天，如果不校正，GPS 定位每天會累積約 10 km 誤差。
『光的角度』看宇宙過了多久？
光子 v = c → γ → ∞。光子的『固有时』= 0：從光子觀點，它從大爆炸發出到現在被你觀測，其自身經歷的時間恆為 0 秒——所以『宇宙老 138 億年』是我們（非光子）的說法。
用這個工具能算長度收縮嗎？
可以間接算：L = L_0 / γ。你可以先用本工具算出 γ，再手動去除以 L_0。例如 v=0.8c、桿固有長 1 m → L = 1 / (5/3) = 0.6 m。
速度為負值可以嗎？
公式裡是 v²/c²，符號不影響。本工具對 v 取 max(0, |v|) 再夾至 <c——也就是『向東/向西 0.9c』效果一樣。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。時間膨脹與狹義相對論計算參考 Taylor & Wheeler 及 Feynman Lectures on Physics 相對論章節，並參考 Hafele-Keating 1971 實驗驗證資料。