相對論都卜勒效應計算器
輸入源頻率、速度與觀察角，計算相對論都卜勒頻移。β=0.6 接近 → f'=2f（藍移）；遠離 → f'=0.5f（紅移）。
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計算結果
重點速覽：相對論都卜勒效應（Einstein 1905 狹義相對論）：運動光源的觀測頻率 f'=f·√(1-β²)/(1-β·cosθ_obs)，其中 β=v/c、θ_obs 為觀察者參考系中源速度方向與觀察者-源視線的夾角。推導：Lorentz 時間膨脹（源固有週期 T₀→觀察者 T=γT₀）與光程變化（每週期源移動 vT cosθ）疊加得 f'=f·√(1-β²)/(1-β·cosθ)。特例：(1) 縱向接近 θ=0 → f'=f·√((1+β)/(1-β))（藍移，f'>f）；(2) 縱向遠離 θ=180 → f'=f·√((1-β)/(1+β))（紅移，f'<f）；(3) 橫向 θ=90 → f'=f·√(1-β²)（橫向都卜勒紅移，純時間膨脹，經典無此效應）。紅移參數 z=(f-f')/f'，遠離為正。歷史：Einstein 1905 狹義相對論預言；1938 Ives-Stilwell 實驗驗證橫向都卜勒。應用：(1) 宇宙紅移（哈勃定律，雖宇宙膨脹為廣義相對論）；(2) 粒子加速器輻射光譜；(3) 相對論性電漿診斷；(4) GPS 衛星都卜勒修正；(5) 都卜勒冷卻（雷射致冷）。
計算公式
觀測頻率：f' = f·√(1-β²) / (1 - β·cosθ)
β = v / c
縱向接近：f' = f·√((1+β)/(1-β))（藍移）
縱向遠離：f' = f·√((1-β)/(1+β))（紅移）
橫向 θ=90：f' = f·√(1-β²)（橫向都卜勒紅移）
$$f' = \frac{f\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \beta\cos\theta}, \quad \beta = \frac{v}{c}$$使用說明
- 輸入源頻率 f（Hz）。
- 輸入速度 v（m/s，接近光速顯著）。
- 輸入觀察角 θ（°，0=接近、180=遠離、90=橫向）。
- 系統計算觀測頻率 f'、頻率比與紅藍移。
β=0.6 各角度頻率比（接近光速）
| θ (°) | 情境 | f'/f |
|---|---|---|
| 0 | 接近 | 2.000 |
| 45 | 斜接近 | 1.366 |
| 90 | 橫向 | 0.800 |
| 135 | 斜遠離 | 0.517 |
| 180 | 遠離 | 0.500 |
θ=0 純藍移；θ=180 純紅移；θ=90 橫向都卜勒紅移（純時間膨脹）。β=0.6 時接近與遠移頻率比乘積=1。
理財情境案例
哈勃定律與宇宙膨脹
遠星系光譜紅移 z 與距離成正比：v=H₀d（Hubble 1929）。z 小時 v≈cz；z 大需相對論式 v=c·((1+z)²-1)/((1+z)²+1)。
哈勃常數 H₀≈70 km/s/Mpc。z=0.1 星系退行速度 ~30000 km/s。香港太空館展出宇宙膨脹資料。
宇宙微波背景 z≈1100，為大爆炸遺跡輻射紅移至 2.725K。暗能量加速膨脹使遠星系紅移更大。
Ives-Stilwell 橫向都卜勒實驗
1938 Ives-Stilwell 觀測高速運動氫原子 canal 射線發光，驗證橫向都卜勒紅移（純時間膨脹）。
此效應經典都卜勒無法解釋，為狹義相對論獨有。後續以穆斯堡爾效應精度更高驗證。
粒子加速器中相對論性粒子輻射光譜都卜勒增寬，需相對論修正。同步輻射光源依賴此計算光譜。香港研究人員可申請使用國際加速器設施。
常見問題
橫向都卜勒紅移是什麼？
源以速度 v 橫向運動（θ=90°，既不接近也不遠離）時，經典都卜勒預言 f'=f（無頻移）。但相對論預言 f'=f·√(1-β²)<f（紅移），源於時間膨脹（源時鐘變慢）。此為狹義相對論獨有效應，1938 Ives-Stilwell 實驗驗證。為時間膨脹的直接頻率證據。
為什麼有紅移與藍移之分？
源接近觀察者（θ<90°）時 f'>f 為藍移（頻率升高、波長變短，朝藍色端）；源遠離（θ>90°）時 f'<f 為紅移（頻率降低、波長變長，朝紅色端）。θ=90 時雖不接近遠離仍紅移（橫向都卜勒）。紅移參數 z=(λ'-λ)/λ=(f-f')/f'。
宇宙紅移與相對論都卜勒相同嗎？
宇宙紅移源於時空膨脹（廣義相對論），非源運動的都卜勒。小 z 時數學相近可近似為都卜勒，但本質不同：宇宙紅移為空間本身拉伸光波波長，非源運動造成。大 z（如 z=1100 的 CMB）需用 FLRW 度規計算，都卜勒近似失效。哈勃定律 v=H₀d 是膨脹的觀測表現。
為什麼 v≥c 時要截斷？
狹義相對論禁止有質量物體達到光速 v=c（需無限大能量）。β=1 時分母 1-β·cosθ 在 θ=0 為零（奇點）。故程式截斷 β=0.999999 保證有限值。實驗中粒子加速器可達 0.9999...c（如 LHC 質子 γ≈7500），但永遠小於 c。光子無靜止系，不適用此公式。
粒子加速器如何用此公式？
相對論性粒子輻射光譜受都卜勒調製。同步輻射光子在前向（θ≈0）因接近觀察者而藍移增強、後向紅移。Liénard-Wiechert 勢推導完整輻射角分佈含都卜勒因子 1/(1-β·cosθ)。相對論性都卜勒使同步輻射集中前向（探照燈效應），這是同步輻射光源準直性來源。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。f'=f√(1-β²)/(1-βcosθ)。Einstein 1905。θ=0 藍移、θ=180 紅移、θ=90 橫向紅移。Ives-Stilwell 1938 驗證。宇宙紅移為時空膨脹非運動都卜勒。