相對論能量計算器
輸入靜質量 m₀、速度 v 與光速 c，計算相對論總能量 E=γm₀c²、動能 KE=(γ-1)m₀c²、動量 p=γm₀v。m₀=1 kg、v=0.6c → γ=1.25、E=1.125×10¹⁷ J。
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計算結果
重點速覽：相對論能量（Relativistic energy）：愛因斯坦 1905 年狹義相對論中質能等價的推廣形式。總能量 E=γm₀c²，包含靜止能量 E₀=m₀c²（靜質量對應的能量）與動能 KE=(γ-1)m₀c²；動量 p=γm₀v。勞侖茲因子 γ=1/√(1-v²/c²) 隨速度趨近光速而趨於無窮大。當 v≪c 時，KE≈½m₀v²（牛頓近似）；v→c 時，KE→∞（有質量物體無法到達光速）。能量-動量關係：E²=(pc)²+(m₀c²)²，對無質量粒子（光子）E=pc。歷史：愛因斯坦 1905 年發表質能等價 E=mc²；1932 年 Cockcroft-Walton 實驗首次驗證質能轉換。經典例：m₀=1 kg、v=0.6c → γ=1.25，E=1.25×9×10¹⁶=1.125×10¹⁷ J，KE=0.25×9×10¹⁶=2.25×10¹⁶ J；質子靜能 938 MeV。應用：(1) 核能——質量虧損轉化為能量（裂變/聚變）；(2) 粒子物理——加速器中粒子動能；(3) 宇宙射線——高能粒子能量；(4) 正反物質湮滅——E=2m₀c²；(5) 恆星——聚變 E=Δmc²。
計算公式
總能量：E = γ·m₀·c²，γ = 1/√(1-v²/c²)
靜止能量：E₀ = m₀·c²
動能：KE = (γ-1)·m₀·c² = E - E₀
動量：p = γ·m₀·v
能量-動量關係：E² = (pc)² + (m₀c²)²
$$E = \gamma m_0 c^2, \quad E_0 = m_0 c^2, \quad K = (\gamma - 1) m_0 c^2, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$使用說明
- 輸入靜質量 m₀（kg）、速度 v（m/s）、光速 c（m/s）。
- 系統計算 γ、總能量 E（J）、靜能 E₀、動能 KE、動量 p。
- 常用：m₀=1 kg、v=0.6c、c=3e8 → γ=1.25、E=1.125e17 J、KE=2.25e16 J。
相對論能量範例（m₀=1 kg, c=3e8 m/s）
| 速度 v (c) | γ | 總能量 E (J) | 動能 KE (J) | KE/E₀ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 9.0e16 | 0 | 0% |
| 0.1 | 1.005 | 9.05e16 | 4.5e14 | 0.5% |
| 0.5 | 1.155 | 1.04e17 | 1.39e16 | 15.5% |
| 0.6 | 1.250 | 1.125e17 | 2.25e16 | 25% |
| 0.8 | 1.667 | 1.50e17 | 6.00e16 | 66.7% |
| 0.9 | 2.294 | 2.06e17 | 1.16e17 | 129% |
| 0.99 | 7.089 | 6.38e17 | 5.48e17 | 609% |
E=γm₀c²。v=0 時 E=E₀=m₀c²=9e16 J/kg。v→c 時 γ→∞，動能主導。v=0.99c 時動能為靜能的 6 倍。粒子加速器中 v>0.9999c 時能量增長主要來自 γ。
理財情境案例
核裂變質能轉換
鈾-235 裂變：¹²⁵U+n→¹⁴¹Ba+⁹²Kr+3n，質量虧損 Δm≈0.186 u=3.09e-28 kg → E=Δmc²=2.78e-11 J=173 MeV。
1 kg 鈾-235 完全裂變釋放 E=m₀c²×效率≈8.98e16×0.0009≈8e13 J（相當於 2 萬噸 TNT）。
核電站 1 GW 功率需消耗鈾 1/8e13×3.15e7≈3.9 kg/年（質量虧損約 3.5 g）。
LHC 質子加速
LHC 將質子加速至 7 TeV，質子靜能 E₀=m₀c²=938 MeV=0.938 GeV，γ=E/E₀=7000/0.938≈7460。
質子速度 v=c√(1-1/γ²)=0.99999999c，與光速差距僅 3 m/s。
動能 KE=(γ-1)m₀c²≈(7460-1)×938 MeV≈6.999 TeV，幾乎等於總能量。進一步加速主要增加 γ 而非速度。
常見問題
為什麼 v→c 時能量趨於無窮？
勞侖茲因子 γ=1/√(1-v²/c²) 在 v→c 時分母→0，γ→∞，故 E=γm₀c²→∞。這意味著有質量物體無法到達光速，需要無限能量。光子靜質量為 0，始終以 c 運動，其能量 E=pc=hf。粒子加速器中質子可達 0.99999999c 但永不到達 c，能量可無限增大。
牛頓動能 ½mv² 何時適用？
當 v≪c 時，γ≈1+v²/(2c²)，KE=(γ-1)m₀c²≈½m₀v²。v=0.1c 時誤差<1%；v=0.3c 時誤差≈5%；v=0.5c 時誤差≈15%。日常速度（汽車 30 m/s、衛星 7.8 km/s）遠小於 c=3e8 m/s，牛頓動能完全適用。v>0.5c 時必須使用相對論動能公式。
什麼是質能等價 E=mc²？
愛因斯坦 1905 年提出質量與能量等價：靜止質量 m₀ 對應靜能 E₀=m₀c²。1 kg 物質完全轉化為能量釋放 9×10¹⁶ J（相當於 21.5 百萬噸 TNT）。核反應中質量虧損 Δm 轉化為能量 E=Δmc²：裂變效率約 0.1%，聚變約 0.7%，正反物質湮滅 100%。原子彈 1 kg 鈾釋放約 8e13 J。
光子的能量如何計算？
光子靜質量 m₀=0，故 E₀=0，總能量 E=pc=hf（h 為普朗克常數，f 為頻率）。可見光（λ=500 nm）光子能量 E=hc/λ=6.63e-34×3e8/5e-7=3.97e-19 J=2.48 eV。伽马射線光子能量可達 MeV 以上。能量-動量關係 E²=(pc)²+(m₀c²)² 在 m₀=0 時簡化為 E=pc。
如何測量粒子的相對論能量？
(1) 量熱法：粒子被吸收體吸收，測量沉積能量；(2) 磁譜儀：測量動量 p=qBR，再由 E²=(pc)²+(m₀c²)² 計算；(3) 飛行時間：測量 v，計算 γ；(4) 測輻射（切倫科夫、軔致輻射）推算能量。LHC 的 ATLAS/CMS 探測器結合多種方法測量 7 TeV 質子能量。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。相對論能量 E=γm₀c²，動能 KE=(γ-1)m₀c²，動量 p=γm₀v。m₀=1 kg、v=0.6c → γ=1.25、E=1.125e17 J。v≪c 時 KE≈½m₀v²。LHC 質子 7 TeV 對應 γ≈7460。核裂變質量虧損 Δm → E=Δmc²。