瑞利判據計算器
輸入波長 λ 與孔徑直徑 D，計算光學儀器最小解析角 θ=1.22λ/D（瑞利判據）與線解析度。
輸入資料
計算結果
重點速覽：瑞利判據（Rayleigh criterion）：評估圓形孔徑光學儀器（望遠鏡、顯微鏡、相機、人眼）最小可分辨角度的標準。當光通過圓形孔徑時，點光源成像並非完美一點，而是艾里盤（Airy disk）繞射圖樣——中央亮斑周圍繞射環。瑞利判據規定：當一個點光源的艾里盤中心恰好落在另一點光源艾里盤的第一暗紋上時，兩點恰好可分辨。此時最小解析角 θ_min=1.22λ/D，其中 λ 為波長、D 為孔徑直徑、1.22 來自圓形孔徑繞射第一暗紋的貝塞爾函數根。角距離小於 θ_min 的兩點無法分辨（會合併為一個模糊斑）。線解析度 d=L·θ_min，其中 L 為物距。經典範例：人眼瞳孔 D=3 mm、λ=550 nm，θ_min=1.22×550×10⁻⁹/3×10⁻³≈2.24×10⁻⁴ rad≈46 角秒；哈伯太空望遠鏡 D=2.4 m、λ=550 nm，θ_min≈2.8×10⁻⁷ rad≈0.057 角秒。瑞利判據是『繞射極限』——即使光學元件完美無像差也無法超越。提高解析度的唯一方法：(1) 增大孔徑 D（更大望遠鏡）；(2) 減小波長 λ（電子顯微鏡用電子波長比可見光短 10⁵ 倍，解析度提升至原子尺度）；(3) 使用干涉儀（如事件視界望遠鏡 EHT）等效增大 D。應用：天文望遠鏡設計、顯微鏡油浸物鏡、相機鏡頭光圈與解析度權衡、人眼視力極限評估、光碟儲存密度。
計算公式
角解析度：θ_min = 1.22λ/D
角解析度（角秒）：θ_arcsec = θ_min × 206265
線解析度：d = L·θ_min
$$\theta_{\min} = \frac{1.22\lambda}{D}$$$$d = L \cdot \theta_{\min}$$使用說明
- 輸入波長 λ（nm）與孔徑直徑 D（mm）。
- 系統計算角解析度（rad 與 arcsec）。
- 若距離 L>0，另計算線解析度 d=L·θ_min；L=0 只計算角解析度。
λ=550 nm 時孔徑與角解析度
| 孔徑 D | 角解析度 θ (rad) | 角解析度 (arcsec) |
|---|---|---|
| 人眼 3 mm | 2.24e-4 | 46.2 |
| 雙筒鏡 50 mm | 1.34e-5 | 2.77 |
| 業餘望遠鏡 200 mm | 3.35e-6 | 0.691 |
| 哈伯 2.4 m | 2.79e-7 | 0.0576 |
| JWST 6.5 m | 1.03e-7 | 0.0212 |
| 本例：人眼 3 mm | 2.24e-4 | 46.2 |
孔徑越大角解析度越小（越好）；JWST 的 6.5 m 主鏡解析度約為哈伯的 2.7 倍。
理財情境案例
人眼視力極限
瞳孔 D=3 mm、λ=550 nm，θ_min≈2.24×10⁻⁴ rad≈46 角秒。
線解析度：10 m 外約 2.24 mm，與人眼實測最小分辨尺度相符。
這解釋了為何遠距離小字看不清——繞射極限制約視力。
哈伯與 JWST 望遠鏡
哈伯 D=2.4 m、λ=550 nm，θ_min≈0.057 角秒，可分辨百光年外星系結構。
JWST D=6.5 m、主要觀測紅外 λ≈2000 nm，θ_min≈1.03×10⁻⁷ rad≈0.021 角秒。
雖紅外波長較長，但更大孔徑讓 JWST 解析度仍優於哈伯。
常見問題
瑞利判據的 1.22 這個數字從哪來？
1.22 來自圓形孔徑繞射圖樣（艾里盤）第一暗環的位置。圓形孔徑的繞射由一階貝塞爾函數 J₁ 描述，第一個零點出現在 x=3.8317 處，換算成角度得 3.8317/π≈1.22。方形狹縫繞射的對應係數是 1.0（暗紋條件 sinθ=λ/a），圓形因次波分佈不同故係數較大。
為什麼望遠鏡口徑越大解析度越好？
由 θ_min=1.22λ/D，角解析度與孔徑 D 成反比。D 增大時艾里盤變小，更接近理想的點像，能分辨更小的角距離。這就是天文望遠鏡追求大口徑的主因之一（另一主因是集光力）。如 8 m 望遠鏡的解析度約為 1 m 望遠鏡的 8 倍。
瑞利判據能被超越嗎？
瑞利判據是繞射極限，理論上無法超越。但實際可通過：(1) 縮短波長（電子顯微鏡用電子物質波，波長 10⁻¹² m 量級）；(2)干涉陣列（如 EHT 等效孔徑等於地球半徑）；(3) 超解析演算法（事先知道光源分佈可一定程度突破，但本質未超過物理極限）。這些方法本質是改變 λ 或等效 D，仍服從瑞利判據形式。
線解析度與角解析度有何不同？
角解析度 θ_min 是光學儀器能分辨的最小角度（單位 rad 或 arcsec），與距離無關。線解析度 d=L·θ_min 是給定物距 L 處能分辨的最小線距離（單位 m 或 mm）。同樣角解析度下，距離越遠線解析度越差（d 越大）。顯微鏡關心線解析度（樣品上的最小細節），望遠鏡關心角解析度（天空中的最小角度）。
為什麼顯微鏡用油浸物鏡能提升解析度？
瑞利判據實際形式為 θ_min=1.22λ/(n·D)，其中 n 為物鏡與標本間介質折射率。油浸物鏡在物鏡與樣品間填折射率 n≈1.5 的香柏油，等效將波長縮短為 λ/n，解析度提升約 1.5 倍。這是高倍顯微鏡用油浸的物理原因——增加數值孔徑 NA=n·sinθ。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。瑞利判據 θ=1.22λ/D；線解析度 d=L·θ；1.22 來自圓孔繞射貝塞爾函數根。