布儒斯特角計算器
輸入入射介質折射率 n₁ 與折射介質折射率 n₂，計算布儒斯特角 θ_B=arctan(n₂/n₁)，此角入射時反射光完全偏振、反射光與折射光夾角 90°。
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計算結果
重點速覽：布儒斯特角（Brewster's angle，又稱起偏振角 polarization angle）θ_B：當未偏振光以 θ_B 入射於兩透明介質界面時，反射光成為完全線偏振光（s 偏振，電場垂直入射面），折射光則為部分 p 偏振（電場平行入射面）。此現象由蘇格蘭物理學家 David Brewster 於 1811 年發現。公式 tan θ_B = n₂/n₁，其中 n₁ 為入射側折射率、n₂ 為折射側折射率。在 θ_B 入射時，反射光線與折射光線的夾角恰為 90°（這是因為 p 偏振光的反射係數在 90° 夾角時為零，符合電磁波邊界條件）。以空氣-玻璃為例：n₁=1、n₂=1.5，θ_B = arctan(1.5/1) = arctan(1.5) ≈ 56.31°，折射角 = 90° − 56.31° = 33.69°。應用：(1) 偏振太陽眼鏡與攝影偏振鏡利用此原理減少水面、玻璃、路面反射的眩光——鏡片塗層或偏振方向使 s 偏振反射光無法通過；(2) 雷射腔的布儒斯特窗讓 p 偏振光無損通過，強迫輸出為線偏振雷射；(3) 光學實驗中產生純偏振光。注意：布儒斯特角只適用於透明介質；金屬表面反射不適用。當 n₁=n₂ 時 θ_B=45°（同介質無偏振效應）。從光密介質入射光疏介質時（n₁>n₂），θ_B 仍有意義但需注意全反射的影響。
計算公式
布儒斯特角：tan θ_B = n₂ / n₁
θ_B = arctan(n₂ / n₁)
折射角：θ_r = 90° − θ_B
反射光與折射光夾角 = 90°
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$$$$\theta_B = \arctan\frac{n_2}{n_1}$$使用說明
- 輸入入射介質折射率 n₁（如空氣=1）與折射介質折射率 n₂（如玻璃=1.5）。
- 系統計算布儒斯特角 θ_B、折射角、反射+折射角之和。
- n₁≤0 或 n₂≤0 自動以 1 替代。
空氣(n₁=1)入射常見介質的布儒斯特角
| 介質 | n₂ | θ_B (°) | 折射角 (°) |
|---|---|---|---|
| 水 | 1.33 | 53.06 | 36.94 |
| 玻璃 | 1.50 | 56.31 | 33.69 |
| 石英 | 1.46 | 55.58 | 34.42 |
| 藍寶石 | 1.77 | 60.54 | 29.46 |
| 鑽石 | 2.42 | 67.51 | 22.49 |
| 本例：玻璃 | 1.50 | 56.31 | 33.69 |
n₂ 越大，布儒斯特角越大；折射角恆為 90°−θ_B，反射+折射=90°。
理財情境案例
攝影偏振鏡消除水面反光
空氣-水：n₁=1、n₂=1.33，θ_B=arctan(1.33)≈53.1°。
攝影師以約 53° 俯角拍攝水面，反射光為完全 s 偏振。
偏振鏡旋轉至阻擋 s 偏振方向，水面反光消除、可清晰拍到水下景物。
雷射腔的布儒斯特窗
雷射腔兩端裝設以布儒斯特角傾斜的玻璃窗。
p 偏振光無反射損耗、多次往返放大；s 偏振光每次反射損耗~15%無法起振。
輸出為純線偏振雷射——這是氦氖雷射、氬離子雷射的標準設計。
常見問題
為什麼在布儒斯特角反射光與折射光夾角是 90°？
由 tan θ_B=n₂/n₁ 與斯涅爾定律 n₁·sinθ_B=n₂·sinθ_r，可推得 sinθ_B=cosθ_r，即 θ_B+θ_r=90°。這是電磁波邊界條件的必然結果——當反射光與折射光成 90° 時，p 偏振光的反射係數為零（反射光中不含 p 分量），故反射光為純 s 偏振。
布儒斯特角和臨界角有什麼不同？
布儒斯特角涉及偏振：tan θ_B=n₂/n₁，任何兩透明介質都存在（無論 n₁><n₂）。臨界角涉及全反射：sin θ_c=n₂/n₁，僅當 n₁>n₂（光密入射光疏）時才存在。兩者獨立，布儒斯特角通常小於臨界角。
為什麼偏振太陽眼鏡能減少眩光？
水面、路面、玻璃反射的光在布儒斯特角附近高度 s 偏振。偏振太陽眼鏡鏡片的方向設計為阻擋 s 偏振光（通常是垂直振動方向），讓自然光與 p 偏振光通過。這能有效減少反射眩光、提升對比度與色彩飽和度。
n₁=n₂ 時布儒斯特角是多少？
由 tan θ_B=n₂/n₁=1，θ_B=arctan(1)=45°。但當兩介質折射率相同時實際上沒有界面、沒有反射與折射，所以布儒斯特角雖數學上為 45° 但物理上無意義。這對應『光學阻抗匹配』——例如隱形眼鏡浸入生理食鹽水折射率匹配。
金屬表面有布儒斯特角嗎？
嚴格說沒有。金屬有復折射率（含虛部），反射相位複雜，不存在『反射光完全偏振』的特定入射角。但金屬在近布儒斯特角時仍會有部分偏振效應，可近似討論。本工具假設透明介質，不適用金屬。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。tanθ_B=n₂/n₁；反射光與折射光夾角 90°；反射光為完全 s 偏振。