薄透鏡計算器

重點速覽：薄透鏡公式（thin lens equation）是幾何光學中描述透鏡成像位置的核心方程式，它把透鏡的焦距、物體的位置與成像的位置三者聯繫起來：1/f = 1/do + 1/di，其中 f 是透鏡的焦距（focal length，透鏡把平行光聚焦的距離）、do 是物距（object distance，物體到透鏡中心的距離）、di 是像距（image distance，像到透鏡中心的距離），三者使用同一長度單位（如公分 cm）。所謂『薄透鏡』是指透鏡的厚度遠小於焦距、物距與像距，可忽略透鏡本身厚度的理想化模型；這個近似對大多數眼鏡、放大鏡、相機鏡頭都相當準確。由公式移項可求像距：di = 1/(1/f − 1/do)。以本工具預設為例：凸透鏡焦距 f = 10 cm、物體放在 do = 30 cm 處，則 1/di = 1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 = 2/30，所以 di = 30/2 = 15 cm。使用薄透鏡公式必須遵守『符號約定』（笛卡兒符號慣例的一種常見版本）：第一，凸透鏡（會聚透鏡，中間厚）焦距 f 取『正值』；凹透鏡（發散透鏡，中間薄）焦距 f 取『負值』。第二，物距 do 對真實物體通常取正值。第三，計算出的像距 di：若為『正值』，表示像在透鏡的另一側，是可以投影到屏幕上的『實像』（real image）；若為『負值』，表示像與物體在同一側，是不能投影、只能透過透鏡看到的『虛像』（virtual image）。以上例來說，di = +15 cm 為實像，會成像在透鏡另一側 15 cm 處（且因物距大於像距而縮小、倒立）。薄透鏡成像的常見情形：第一，物體在焦距外（do > f）——凸透鏡成實像、倒立，是相機、投影機、人眼的成像原理。第二，物體在焦距內（do < f）——凸透鏡成虛像、正立、放大，這就是放大鏡的原理。第三，凹透鏡對真實物體永遠成縮小、正立的虛像（近視眼鏡）。薄透鏡公式的應用極廣：眼鏡與隱形眼鏡度數設計（近視用凹透鏡、遠視用凸透鏡）、相機與手機鏡頭對焦、顯微鏡與望遠鏡設計、投影機成像等。搭配放大率公式 m = −di/do，還可求出像的大小與正倒立方向。使用時要注意：第一，務必遵守符號約定，凹透鏡 f 為負。第二，f、do、di 用同一單位。第三，當物距等於焦距（do = f）時，1/f − 1/do = 0，像距趨於無窮大（平行光射出，不成像），本計算器此情形回傳 0。第四，本計算器焦距或物距為 0 時回傳 0。總之，本計算器讓你由焦距與物距，快速算出像距與判斷實像／虛像，是理解透鏡成像、眼鏡與光學儀器的實用工具。