磁偶極矩計算器
輸入線圈匝數、電流、面積與外磁場，計算磁偶極矩 μ=NIA、力矩 τ=μBsinθ 與位能 U=−μBcosθ。N=100、I=2A、A=0.01m²、B=1T → μ=2 A·m²。
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計算結果
重點速覽：磁偶極矩（Magnetic dipole moment）：電流迴路在外磁場中產生的磁矩 μ=NIA，其中 N 為線圈匝數、I 為電流、A 為線圈面積。方向由右手定則決定（四指繞電流方向、拇指為 μ 方向）。在外磁場 B 中，磁矩受到力矩 τ=μ×B，大小 τ=μB·sinθ（θ 為 μ 與 B 夾角），使磁矩傾向於與 B 對齊；位能 U=−μ·B·cosθ（θ=0° 時 U=−μB 為最低能量穩定位置）。經典例：N=100、I=2A、A=0.01m² → μ=2 A·m²；B=1T、θ=90° → τ=2 N·m、U=0；θ=0° → τ=0、U=−2 J。歷史：安培 1820 年提出分子電流假說解釋磁性來源（安培電流迴路）；厄斯特 1820 年發現電流磁效應；安培與阿拉戈隨後建立電流迴路磁矩理論。應用：(1) 電動機（motor）——線圈在磁場中受力矩旋轉，換向器維持方向使轉矩持續；(2) 發電機（generator）——反向過程，旋轉線圈切割磁力線感應電流；(3) 繼電器（relay）——電磁鐵吸合觸點，控制高壓電路；(4) 磁共振（NMR/MRI）——質子磁矩在外磁場中進動；(5) 磁羅盤——磁針（永久磁鐵）受地磁力矩對齊南北；(6) 粒子加速器——磁偶極偏轉帶電粒子軌道。注意：μ 方向由右手定則；磁矩越大、磁場越強，力矩越大；θ=0° 為穩定平衡（最低能量）、θ=180° 為不穩定平衡（最高能量）。
計算公式
磁偶極矩：μ = N · I · A
力矩大小：τ = μ · B · sin(θ) = N · I · A · B · sin(θ)
位能：U = −μ · B · cos(θ) = −N · I · A · B · cos(θ)
最大力矩（θ=90°）：τ_max = μ · B
最低位能（θ=0°）：U_min = −μ · B
$$\mu = NIA, \quad \tau = \mu B \sin\theta$$$$U = -\mu B \cos\theta$$使用說明
- 輸入線圈匝數 N、電流 I（A）、面積 A（m²）、磁場 B（T）、夾角 θ（度）。
- 系統計算磁偶極矩 μ=NIA、力矩 τ=μBsinθ、位能 U=−μBcosθ。
- θ=90° 時力矩最大、位能為 0；θ=0° 時力矩為 0、位能最低（穩定）。
典型電流迴路的磁偶極矩
| 迴路類型 | 匝數 N | 電流 I (A) | 面積 A (m²) | 磁矩 μ (A·m²) |
|---|---|---|---|---|
| 單匝圓線圈 d=10cm | 1 | 1 | 0.00785 | 0.00785 |
| 繼電器線圈 | 2000 | 0.05 | 0.0001 | 0.01 |
| 電動機轉子 | 100 | 5 | 0.01 | 5 |
| MRI 主磁體 | 1000 | 100 | 1 | 100000 |
| 地磁偶極 | — | — | — | 8.0e22 |
地球本身為巨大磁偶極，磁矩約 8.0×10²² A·m²；MRI 主磁體超導線圈磁矩極大。
理財情境案例
直流電動機轉子
電動機轉子 N=100 匝、I=5A、A=0.01 m²、B=1 T、θ=90°。
μ=NIA=100×5×0.01=5 A·m²；τ=μBsinθ=5×1×1=5 N·m。
換向器使線圈每半圈反向，維持轉矩方向持續旋轉。
地磁羅盤磁針
磁針磁矩 μ=1 A·m²，地磁場 B≈5e-5 T。
θ=90° 時最大力矩 τ=1×5e-5×1=5e-5 N·m。
力矩使磁針對齊南北方向（θ=0°），此時位能最低。
常見問題
磁偶極矩與磁化強度有什麼區別？
磁偶極矩 μ 是單個迴路或粒子的磁矩（單位 A·m²）；磁化強度 M 是單位體積內總磁矩（單位 A/m），M=nμ，n 為磁矩數密度。永磁材料 M 大，抗磁材料 M 極小且反向。
為什麼 θ=0° 是穩定平衡、θ=180° 是不穩定平衡？
θ=0° 時位能 U=−μB 為最低值，磁矩與磁場對齊，外力小幅擾動後磁矩會回到原方向，故穩定；θ=180° 時 U=+μB 為最高值，磁矩反向，小幅擾動會使磁矩翻轉到 θ=0°，故不穩定。
地球磁偶極矩有多大？
地球磁偶極矩約 8.0×10²² A·m²，由外核液態鐵鎳對流產生（發電機理論）。地磁北極與地理北極略有偏差（約 11°），磁極位置逐年漂移。地磁場在地面約 25-65 μT（赤道較低、兩極較高）。
電動機為什麼需要換向器？
線圈在磁場中受力矩旋轉至 θ=0° 時力矩為 0（平衡位置）會停止。換向器（commutator）每半圈使電流反向，磁矩方向隨之反轉，使線圈始終受到同方向力矩，維持連續旋轉。直流電動機因此能持續輸出轉矩。
磁共振中質子的磁偶極矩多大？
質子磁矩 μ_p=1.4106×10⁻²⁶ J/T（或 A·m²），遠小於宏觀電流迴路。MRI 中質子磁矩雖小，但人體含水約 40L，總質子數約 2.7×10²⁷，淨磁化向量足以產生 NMR 信號。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。μ=NIA、τ=μBsinθ、U=−μBcosθ；θ=90° 力矩最大、θ=0° 位能最低；地球磁偶極矩約 8.0e22 A·m²。