迴旋頻率計算器
輸入電荷、磁場與質量，計算迴旋頻率 f=qB/(2πm)、角頻率 ω=qB/m 與週期 T。質子在 1 T 中頻率約 15.3 MHz。
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計算結果
重點速覽：迴旋頻率（cyclotron frequency，又稱拉莫爾頻率 Larmor frequency）：帶電粒子在均勻磁場中受洛倫茲力 F=qvB（垂直速度方向）做圓周運動的頻率。由磁力提供向心力 qvB=mv²/r 得：r=mv/(qB)、ω=v/r=qB/m（角頻率）、f=ω/(2π)=qB/(2πm)（線頻率）、T=1/f=2πm/(qB)（週期）。重要特性：迴旋頻率只與 q、B、m 有關，與速度 v 無關（非相對論情況下）——這是迴旋加速器原理的基礎。經典數值：質子（q=e=1.602×10⁻¹⁹ C、m=1.67×10⁻²⁷ kg）在 B=1 T 中 f≈15.23 MHz、T≈65.7 ns；電子（m=9.11×10⁻³¹ kg）在 B=1 T 中 f≈27.99 GHz（微波波段）；α 粒子（q=2e、m=6.64×10⁻²⁷ kg）在 B=1 T 中 f≈7.67 MHz。應用：(1) 迴旋加速器（cyclotron）由 Lawrence 1930 年代發明，利用交變電場在固定頻率下加速粒子（質子能量上限約 20-50 MeV，受相對論效應限制需用同步迴旋加速器）；(2) 質譜儀（mass spectrometer）測量離子 m/q 比；(3) 磁共振成像（MRI）主磁場 1.5-3 T 下氫原子核（質子）拉莫爾頻率 64-128 MHz，射頻脈衝激發後成像；(4) 磁層物理中帶電粒子在地球磁場中運動（範艾倫輻射帶）；(5) 電漿物理中迴旋共振加熱。注意：相對論下質量隨速度增大 m=γm₀，頻率降低，故需用同步加速器。
計算公式
角頻率：ω = qB / m
頻率：f = qB / (2πm) = ω / (2π)
週期：T = 1 / f = 2πm / (qB)
迴旋半徑：r = mv / (qB)
$$\omega = \frac{qB}{m}, \quad f = \frac{qB}{2\pi m}$$$$r = \frac{mv}{qB}$$使用說明
- 輸入電荷 q（C）、磁場 B（T）、質量 m（kg）；速度 v 為選填。
- 系統計算頻率 f、角頻率 ω、週期 T，若 v>0 並計算迴旋半徑 r。
- 質子常用值：q=1.602e-19 C、m=1.67e-27 kg；電子 m=9.11e-31 kg。
B=1 T 磁場下常見粒子的迴旋頻率
| 粒子 | 電荷 (C) | 質量 (kg) | 頻率 f (MHz) |
|---|---|---|---|
| 電子 | 1.602e-19 | 9.11e-31 | 27992 |
| 質子 | 1.602e-19 | 1.67e-27 | 15.27 |
| 中子（不帶電） | 0 | 1.67e-27 | 0 |
| α 粒子 | 3.204e-19 | 6.64e-27 | 7.67 |
| 鈾離子 U²³⁸⁺ | 3.204e-17 | 3.95e-25 | 0.0129 |
| μ 介子 | 1.602e-19 | 1.88e-28 | 135.7 |
頻率與 q/m 成正比；電子因質量極小頻率最高。
理財情境案例
MRI 磁共振成像
MRI 主磁場 B=1.5 T，氫原子核（質子）m=1.67e-27 kg、q=1.602e-19 C。
f = 1.602e-19 × 1.5 / (2π × 1.67e-27) ≈ 22.85 MHz。
射頻脈衝以約 22.85 MHz 激發質子，鬆弛信號經梯度磁場編碼重建為影像。
迴旋加速器設計
醫用迴旋加速器 B=1.5 T、加速質子。
頻率 f≈22.85 MHz；D 形電極以 22.85 MHz 交變電壓加速質子。
質子能量達 20 MeV 時速度約 6×10⁷ m/s，半徑 r=mv/(qB)≈0.42 m，故醫用迴旋加速器直徑約 1 m。
常見問題
為什麼迴旋頻率與速度無關？
由 ω=qB/m 與 r=mv/(qB)：速度 v 增大時半徑 r 也成正比增大（r∝v），但一圈的周長也成正比增大，故角頻率 ω=v/r 不變。物理意義：磁力始終垂直速度方向，只改變方向不改變動能，故頻率由 q/m 決定。這是迴旋加速器能以固定頻率工作的基礎。
為什麼電子頻率遠高於質子？
f=qB/(2πm)，電子質量 9.11e-31 kg 是質子 1.67e-27 kg 的 1/1836，故頻率為質子的 1836 倍。電子在 B=1 T 中 f≈28 GHz（微波波段），可用微波技術測量——這是電子自旋共振（ESR）的基礎。
相對論情況下迴旋頻率如何變化？
相對論下質量 m=γm₀（γ 為洛倫茲因子），故 ω=qB/(γm₀)。粒子能量高時 γ 增大、ω 減小。迴旋加速器在固定頻率下只能在低能（γ≈1）工作；高能需用同步加速器（隨能量增大磁場 B 或降低頻率）。質子能量超過約 20-50 MeV 後相對論修正顯著。
MRI 為什麼用氫原子核？
人體富含水與脂肪，氫原子核（質子）濃度高；質子磁矩大、信號強；質子在不同化學環境（水、脂肪）中拉莫爾頻率略有差異（化學位移），可鑑別組織。B=1.5 T 下 f≈22.85 MHz（VHF 波段），射頻線圈激發與接收技術成熟。其他核（¹³C、³¹P）亦可成像但靈敏度低。
中子不帶電為什麼也有磁共振？
中子雖電中性，但內部夸克結構使它有非零磁矩（-1.913 μ_N），故在磁場中亦有拉莫爾進動。中子干涉測量用於精確測定中子磁矩與基本物理常數。中子不成為傳統迴旋運動（無淨電荷），但有自旋進動頻率 γB（γ 為旋磁比）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ω=qB/m、f=qB/(2πm)、r=mv/(qB)；頻率與速度無關（非相對論）；MRI 1.5 T 下質子 f≈22.85 MHz。