拉莫爾頻率計算器
輸入磁場與磁旋比，計算拉莫爾進動頻率 f=γB/(2π)、角頻率 ω=γB 與週期 T。質子在 1 T 中頻率約 42.58 MHz。
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計算結果
重點速覽：拉莫爾頻率（Larmor frequency）：磁矩在外磁場中以磁場方向為軸的進動頻率，由愛爾蘭物理學家約瑟夫·拉莫爾（Joseph Larmor）1897 年提出。當帶有磁矩 μ 的粒子（如原子核、電子）置於外磁場 B 中，磁矩會繞磁場方向進動，角頻率 ω_L=γ·B，其中 γ 為粒子的磁旋比（gyromagnetic ratio），定義為 γ=g·μ/(ℏ)，g 為朗德 g 因子、μ 為磁矩。線頻率 f=ω/(2π)=γ·B/(2π)，週期 T=1/f。經典數值：質子（¹H）γ_p≈2.67522×10⁸ rad/(s·T)，在 B=1 T 中 f≈42.58 MHz、T≈23.5 ns；在 B=1.5 T（典型 MRI 主磁場）中 f≈63.87 MHz；在 B=11.7 T（高場 NMR 譜儀）中 f≈500 MHz（¹H 化學位移基準）。電子 γ_e≈1.76086×10¹¹ rad/(s·T)（g≈2.0023），在 B=0.34 T 中 f≈9.5 GHz（X 波段 ESR）。¹³C 核 γ=6.7283×10⁷，在 11.7 T 中 f≈125 MHz。應用：(1) 核磁共振（NMR）譜學——不同原子核（¹H、¹³C、¹⁵N、³¹P）在不同化學環境中頻率略有差異（化學位移 ppm），鑑定分子結構；(2) 磁共振成像（MRI）——利用氫原子核（質子）拉莫爾頻率，射頻脈衝激發後鬆弛信號重建為影像，臨床 MRI 1.5-3 T 主磁場下 ¹H 頻率 64-128 MHz；(3) 電子自旋共振（ESR/EPR）——測量未成對電子在磁場中的進動，研究自由基與過渡金屬；(4) 量子計算——電子或核自旋作為量子位元，拉莫爾進動實現量子閘操作；(5) 原子鐘——銫原子超精細結構躍遷頻率（約 9.192 GHz）作為秒定義。歷史：拉莫爾 1897 年提出進動理論，拉比 1938 年發明 NMR 方法測量核磁矩（獲 1944 年諾貝爾物理獎），布洛赫與珀塞爾 1946 年獨立發現凝聚態 NMR（獲 1952 年諾貝爾物理獎），勞特伯 1973 年提出 MRI（獲 2003 年諾貝爾生理醫學獎）。
計算公式
拉莫爾角頻率：ω_L = γ · B
拉莫爾頻率：f = γ · B / (2π) = ω_L / (2π)
進動週期：T = 1 / f = 2π / (γ · B)
磁旋比：γ = g · μ / ℏ
$$\omega_L = \gamma B, \quad f = \frac{\gamma B}{2\pi}$$$$T = \frac{2\pi}{\gamma B}$$使用說明
- 輸入磁場 B（T）與磁旋比 γ（rad/(s·T)）。
- 系統計算拉莫爾角頻率 ω=γB、頻率 f=γB/(2π)、週期 T=1/f。
- 常用磁旋比：質子 2.67522e8、電子 1.76086e11、¹³C 6.7283e7、¹⁹F 2.5181e8、³¹P 1.0839e8。
B=1 T 磁場下常見粒子的拉莫爾頻率
| 粒子 | 磁旋比 γ (rad/(s·T)) | 頻率 f (MHz) | 應用 |
|---|---|---|---|
| 質子 ¹H | 2.67522e8 | 42.58 | MRI、NMR |
| 電子 e⁻ | 1.76086e11 | 28024 | ESR/EPR |
| ¹³C | 6.7283e7 | 10.71 | NMR |
| ¹⁹F | 2.5181e8 | 40.05 | NMR、MRI 追蹤 |
| ³¹P | 1.0839e8 | 17.25 | 生物 NMR |
| ²³Na | 7.0808e7 | 11.27 | MRI 鈉成像 |
頻率與 γ 成正比；電子 γ 約為質子 660 倍，故電子在 B=1 T 中 f≈28 GHz（微波波段）。
理財情境案例
MRI 1.5 T 磁共振成像
臨床 MRI 主磁場 B=1.5 T，激發氫原子核（質子）。
質子 γ=2.67522e8 rad/(s·T)，f=2.67522e8×1.5/(2π)≈63.87 MHz。
射頻脈衝以 63.87 MHz 激發質子，T1/T2 鬆弛信號經梯度編碼重建為影像。
高場 NMR 譜儀（500 MHz）
高場 NMR 譜儀主磁場 B=11.74 T，測量¹H 譜。
f=2.67522e8×11.74/(2π)≈499.8 MHz，故稱 500 MHz 譜儀。
¹³C 在同磁場下 f≈125.7 MHz，可用雙核譜儀同時測量。
常見問題
拉莫爾頻率與迴旋頻率有什麼區別？
兩者公式相似但物理意義不同。迴旋頻率 ω_c=qB/m 是帶電粒子在磁場中圓周運動頻率（牛頓力學），針對自由粒子；拉莫爾頻率 ω_L=γB 是磁矩在磁場中的進動頻率，針對帶磁矩的粒子（原子核、電子）。對於電子，γ=g·e/(2m)，g≈2.0023，故 γB≈eB/m，兩者數值幾乎相等；但對於質子，因 g 因子與質子內部夸克結構有關，γ_p=2.67522e8 遠小於 e/m_p=9.58e7。
為什麼 MRI 主磁場越來越高？
磁場越高，質子拉莫爾頻率越高，磁化向量越大，信噪比（SNR）越高，影像解析度越高。1.5 T 主磁場¹H 頻率 63.87 MHz；3 T 下 127.7 MHz，SNR 約 1.4 倍；7 T 研究型 MRI 已 298 MHz。但高場需用超導磁體、冷卻昂貴、射頻穿透深度有限、比吸收率（SAR）升高。3 T 為臨床主流上限。
化學位移是什麼？
不同化學環境中的原子核（如¹H 在水、脂肪、苯環）因電子雲屏蔽效應，磁場有效值略有差異，拉莫爾頻率略有偏移，稱化學位移（chemical shift），以 ppm（百萬分之一）表示。B=1.5 T 下 1 ppm 對應 63.87 Hz；B=11.74 T（500 MHz 譜儀）下 1 ppm 對應 500 Hz，故高場譜儀化學位移解析度更高。¹H 譜典型位移範圍 0-12 ppm。
電子自旋共振（ESR）常用什麼頻段？
電子 γ_e=1.76086e11 rad/(s·T)，在 B=0.34 T 中 f≈9.5 GHz（X 波段微波），是最常用 ESR 頻段。其他：Q 波段 35 GHz（B=1.25 T）、W 波段 95 GHz（B=3.4 T）。ESR 用於測量自由基、過渡金屬離子、半導體缺陷等未成對電子。
為什麼¹³C NMR 靈敏度比¹H 低？
¹³C 自然豐度僅 1.1%（¹²C 佔 98.9% 且無磁矩），且 γ_¹³C=6.73e7 約為質子 1/4，故 NMR 靈敏度約為¹H 的 1/5700。需用高磁場、長時間累積、同位素標記（¹³C 富集）或極化轉移技術（DEPT、INEPT）提高靈敏度。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ω=γB、f=γB/(2π)、T=2π/(γB)；質子 γ=2.67522e8 rad/(s·T)；MRI 1.5 T 下¹H f≈63.87 MHz；NMR 11.74 T 下¹H f≈500 MHz。