等溫過程計算器
輸入初始壓力、體積、末體積與溫度，求等溫過程功與熱量。V₂=2V₁ → W=nRT·ln2。
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計算結果
重點速覽：等溫過程：系統溫度保持不變的熱力學過程。理想氣體等溫過程遵循 Boyle 定律 P₁V₁=P₂V₂（T=常數）。功 W=nRT·ln(V₂/V₁)：膨脹 W>0（氣體對外做功）、壓縮 W<0（外界對氣體做功）。由熱力學第一定律 ΔU=Q-W、理想氣體內能只與溫度有關 → ΔU=0、故 Q=W。性質：(1) P-V 圖為雙曲線；(2) 等溫過程比熱無限大（dQ=dT·∞）；(3) 理想氣體內能 U=½fnRT。應用：(1) 卡諾循環等溫膨脹/壓縮；(2) 氣體壓縮（等溫壓縮機）；(3) 生物代謝（近似等溫）；(4) 熱機循環分析。
計算公式
Boyle 定律：P₁V₁ = P₂V₂
末壓力：P₂ = P₁V₁/V₂
功：W = nRT·ln(V₂/V₁)
內能變化：ΔU = 0（理想氣體等溫）
熱量：Q = W（第一定律）
$$P_1 V_1 = P_2 V_2, \quad W = nRT \ln\frac{V_2}{V_1}, \quad \Delta U = 0, \quad Q = W$$使用說明
- 輸入初始壓力 P₁（Pa）與初始體積 V₁（m³）。
- 輸入末體積 V₂（m³）。
- 輸入莫耳數 n（mol）與溫度 T（K）。
- 系統求末壓力 P₂、功 W、熱量 Q、內能變化 ΔU。
等溫過程功與體積比關係（n=1, T=300K）
| V₂/V₁ | W (J) | P₂/P₁ |
|---|---|---|
| 0.5 | -1729 | 2.000 |
| 1.0 | 0 | 1.000 |
| 2.0 | 1729 | 0.500 |
| 4.0 | 3458 | 0.250 |
| 10.0 | 5744 | 0.100 |
W=nRT·ln(V₂/V₁)。膨脹 W>0、壓縮 W<0。V₂/V₁=2 時 P₂=P₁/2。
理財情境案例
氣體壓縮與熱機
等溫壓縮：壓縮氣體需做功、熱量排出。空壓機冷卻翅片散熱近似等溫。
卡諾循環：等溫膨脹（吸熱）→ 絕熱膨脹 → 等溫壓縮（放熱）→ 絕熱壓縮。最高效率循環。
熱泵：等溫蒸發吸熱、等溫凝結放熱。香港冷氣 25°C 室內蒸發。
生物與化學
生物代謝：體溫恆定近似等溫過程。ATP 水解釋能。人體 37°C 恆溫。
氣體溶解：亨利定律 P=kH·x（等溫）。深海潛水減壓病。
化學反應平衡：Kp 與溫度有關。等溫反應器控制溫度。
常見問題
為什麼等溫過程 ΔU=0？
理想氣體內能 U=½fnRT 只與溫度有關。等溫過程 T 不變 → ΔU=0。由第一定律 ΔU=Q-W → Q=W。故等溫膨脹吸熱做功、等溫壓縮放熱被做功。
等溫過程與絕熱過程有何不同？
等溫過程 T 不變、Q=W、PV=常數。絕熱過程 Q=0、W=-ΔU、PV^γ=常數。膨脹時絕熱降溫更多（無熱源）。壓縮時絕熱升溫更快。
Boyle 定律的條件是什麼？
Boyle 定律 P₁V₁=P₂V₂ 適用條件：(1) 理想氣體（低壓高溫）；(2) 溫度不變；(3) 氣體量不變。真實氣體高壓時偏離、需用范德瓦方程修正。
等溫過程的比熱是多少？
等溫過程 dT=0 但 dQ≠0 → C=dQ/dT→∞。故等溫過程比熱無限大。這不代表比熱真為無限大、而是等溫路徑的特殊性。等容比熱 Cv 和等壓比熱 Cp 才是有意義的量。
如何實現等溫過程？
等溫過程需系統與大熱源接觸、過程足夠慢使溫度均勻。實際：(1) 導熱良好的氣缸置於恆溫水浴；(2) 過程緩慢使熱傳導充分；(3) 熱源容量遠大於系統。快速過程接近絕熱。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。等溫過程 W=nRT·ln(V₂/V₁)、Boyle 定律、熱力學第一定律。