理想氣體內能計算器
輸入自由度、莫耳數與溫度，計算內能 U=(f/2)nRT、Cv、Cp、γ。單原子 f=3、n=1、T=300K → U≈3741 J、γ≈1.667。
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計算結果
重點速覽：理想氣體內能（Internal energy of ideal gas）：依能量均分定理（Equipartition theorem），每個自由度平均能量 (1/2)kT，n 莫耳氣體 U=(f/2)·n·R·T，其中 f 為自由度、R=8.314462618 J/(mol·K) 為氣體常數（=N_A·k，N_A=6.022e23/mol 為亞佛加厥常數，k=1.381e-23 J/K 為波茲曼常數）、T 為絕對溫度。莫耳定容熱容 Cv=(f/2)R、莫耳定壓熱容 Cp=Cv+R（邁爾關係，來自等壓膨脹做功 R·T）、比熱比 γ=Cp/Cv。自由度 f 依分子類型：單原子（He、Ar）3（三方向平動）；雙原子（O₂、N₂）5（平動3+轉動2，振動低頻在常溫未激發）；多原子（H₂O、CO₂）6（平動3+轉動3，振動需更高溫）。歷史：焦耳 1851 年實驗證實理想氣體內能僅依賴溫度；邁爾 1842 年提出 Cp-Cv=R；能量均分定理由麥克斯韋與玻茲曼建立。經典例：單原子 f=3、n=1mol、T=300K → U=(3/2)(1)(8.314)(300)=3741 J、Cv=12.47、Cp=20.79、γ=5/3=1.667；雙原子 f=5、n=1、T=300 → U=6236 J、Cv=20.79、Cp=29.10、γ=1.4；多原子 f=6 → γ=4/3=1.333。應用：(1) 熱力學第一定律——ΔU=nCvΔT；(2) 絕熱過程——PV^γ=常數；(3) 聲速——c=√(γRT/M)；(4) 化學反應能量——焓變 ΔH=nCpΔT；(5) 大氣絕熱遞減率——Γ=g/Cp。
計算公式
內能：U = (f/2)·n·R·T
莫耳定容熱容：Cv = (f/2)·R
莫耳定壓熱容：Cp = Cv + R（邁爾關係）
比熱比：γ = Cp / Cv
自由度：單原子 3、雙原子 5、多原子 6
氣體常數：R = 8.314462618 J/(mol·K)
$$U = \frac{f}{2} n R T, \quad C_v = \frac{f}{2} R, \quad C_p = C_v + R, \quad \gamma = \frac{C_p}{C_v}$$使用說明
- 輸入自由度 f（單原子 3、雙原子 5、多原子 6）。
- 輸入莫耳數 n（mol）與溫度 T（K）。
- 系統計算 U=(f/2)nRT、Cv=(f/2)R、Cp=Cv+R、γ=Cp/Cv。
- 常用：單原子 f=3、n=1、T=300 → U=3741 J、γ=1.667；雙原子 f=5 → γ=1.4。
常見氣體自由度與熱力性質（298K）
| 氣體 | 類型 | f | Cv (J/mol·K) | Cp (J/mol·K) | γ |
|---|---|---|---|---|---|
| He | 單原子 | 3 | 12.47 | 20.79 | 1.667 |
| Ar | 單原子 | 3 | 12.47 | 20.79 | 1.667 |
| N₂ | 雙原子 | 5 | 20.79 | 29.10 | 1.400 |
| O₂ | 雙原子 | 5 | 21.10 | 29.42 | 1.395 |
| H₂O | 多原子 | 6 | 25.93 | 34.24 | 1.320 |
| CO₂ | 多原子 | 6 | 28.93 | 37.24 | 1.287 |
U=(f/2)nRT、Cv=(f/2)R、γ=Cp/Cv。低溫或輕分子（H₂、O₂）振動凍結故 f 略小於預測；高溫（>1000K）振動激發 f 增大、γ 下降。CO₂ 振動模式複雜，常溫 Cv 略高。
理財情境案例
等容加熱氮氣
密閉容器內 2 mol 氮氣（N₂，f=5）從 300K 加熱至 600K，等容過程 W=0、ΔU=nCvΔT。
Cv=(5/2)R=20.79 J/(mol·K)，ΔU=2×20.79×(600-300)=12471 J。
熱力學第一定律 ΔU=Q-W，故 Q=ΔU=12471 J（等容吸熱全部轉為內能）。若改等壓加熱，Q=nCpΔT=2×29.10×300=17460 J，多吸收 4989 J 用於對外做功 W=nRΔT=2×8.314×300=4988 J。
絕熱膨脹與聲速
空氣（雙原子 f=5、γ=1.4、M=0.02897 kg/mol）絕熱膨脹 PV^1.4=常數。T·V^(γ-1)=常數，故 V 增大 T 下降（絕熱冷卻）。
聲速 c=√(γRT/M)=√(1.4×8.314×300/0.02897)=347 m/s（25°C 實測 346）。氦氣（γ=1.667、M=0.004）聲速 c=√(1.667×8.314×300/0.004)=1019 m/s，故吸入氦氣聲音變尖高。
等溫過程 PV=常數（玻意耳定律），聲速為 √(RT/M)（牛頓公式）但低估 18%，因聲波為絕熱非等溫。拉普拉斯修正為 √(γRT/M)。
常見問題
為什麼理想氣體內能僅依賴溫度？
理想氣體分子間無相互作用位能（無吸引力），內能只有動能。依能量均分定理動能∝T，故 U=(f/2)nRT 僅依 T。實際氣體在低溫高壓下分子間位能顯著，內能依賴體積（范德瓦爾斯氣體）。焦耳 1851 年實驗（自由膨脹溫度不變）證實理想氣體內能與體積無關。
為什麼 Cp 比 Cv 大 R？
等容過程不做功 W=0，吸熱全部轉為內能 Qv=nCvΔT。等壓過程吸熱轉為內能+對外做功 Qp=nCpΔT=ΔU+W=nCvΔT+nRΔT，故 Cp=Cv+R（邁爾關係）。R 為 1 mol 氣體等壓膨脹溫度升高 1K 所做功。
為什麼雙原子自由度是 5 而非 7？
雙原子有平動 3（xyz 方向）+ 轉動 2（垂直分子軸兩方向，沿分子軸轉動慣量可忽略）+ 振動 2（動能+位能）=7 個自由度。常溫（<1000K）振動量子能級間隔較大，能量未激發（量子凍結），故有效 f=5。高溫（>1000K）振動激發 f=7、γ 降至 1.29。氫氣因量子效應顯著，低溫 f=3、室溫 f=5、高溫 f=7。
比熱比 γ 的物理意義是什麼？
γ=Cp/Cv 表示定壓與定容熱容比值。單原子 γ=5/3=1.667、雙原子 7/5=1.4、多原子 4/3=1.333。γ 用於：(1) 絕熱過程 PV^γ=常數；(2) 聲速 c=√(γRT/M)；(3) 拉瓦爾噴管超音速流；(4) 熵變 ΔS=nCv ln(T₂/T₁)+nR ln(V₂/V₁)；(5) 大氣絕熱遞減率 Γ=g/Cp=9.8K/km。
能量均分定理的限制？
均分定理僅適用經典（連續能級）自由度。低溫下量子能級間隔大於 kT 時該自由度『凍結』不貢獻能量：氫氣低於 100K 振動+轉動凍結 f=3；100-1000K 轉動激發 f=5；>1000K 振動激發 f=7。高溫下均分失效需量子統計（玻色-愛因斯坦、費米-狄拉克分布）。金屬中電子氣不遵守均分（Cv∝T）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。內能 U=(f/2)nRT、Cv=(f/2)R、Cp=Cv+R、γ=Cp/Cv。R=8.314 J/(mol·K)。單原子 f=3 γ=1.667；雙原子 f=5 γ=1.4；多原子 f=6 γ=1.333。焦耳定律：U 僅依 T。邁爾關係 Cp-Cv=R。