能量均分定理計算器
輸入自由度與溫度，計算平均能量 ⟨E⟩=(f/2)kT、每莫耳能量 (f/2)RT 與定容熱容。單原子 f=3、300K → E≈6.21e-21 J。
輸入資料
計算結果
重點速覽：能量均分定理（Equipartition theorem）：經典統計力學中，系統每個二次自由度（與動量平方成正比的項）平均分配 (1/2)k_B·T 能量。總平均能量 ⟨E⟩=(f/2)k_B·T，其中 f 為自由度數、k_B=1.380649×10⁻²³ J/K。每莫耳能量 E_mol=(f/2)RT，R=8.314462618 J/(mol·K)=N_A·k_B。定容莫耳熱容 C_v=(f/2)R。常見：(1) 單原子理想氣體 f=3（三平動）→ C_v=3R/2≈12.47 J/(mol·K)；(2) 雙原子 f=5（三平動+二轉動）→ C_v=5R/2≈20.79 J/(mol·K)；(3) 多原子 f=6（三平動+三轉動）→ C_v=3R≈24.94 J/(mol·K)。振動自由度在高溫才啟動（量子效應，愛因斯坦模型/德拜模型）。歷史：麥克斯韋 1860 年速度分佈；波茲曼 1876 年推導；吉布斯 1902 年統計力學。應用：(1) 理想氣體熱容——C_p=C_v+R，γ=C_p/C_v；(2) 固體杜隆-珀替定律——3R/莫耳；(3) 黑體輻射——每模態 kT；(4) 化學反應速率——活化能與 kT 比較；(5) 雜訊物理——熱雜訊源於 kT。
計算公式
平均能量：⟨E⟩ = (f/2)·k_B·T（J）
每莫耳能量：E_mol = (f/2)·R·T（J/mol）
定容熱容：C_v = (f/2)·R（J/(mol·K)）
定壓熱容：C_p = C_v + R = (f/2+1)·R
絕熱指數：γ = C_p/C_v = (f+2)/f
$$\langle E \rangle = \frac{f}{2} k_B T, \quad E_{mol} = \frac{f}{2} RT, \quad C_v = \frac{f}{2} R$$使用說明
- 輸入自由度 f 與溫度 T（K）。
- 系統計算 ⟨E⟩=(f/2)kT、E_mol=(f/2)RT、C_v=(f/2)R。
- 常用：單原子 f=3 300K → E=6.21e-21 J、C_v=12.47 J/(mol·K)。
氣體熱容與能量（T=300K）
| 氣體 | 自由度 f | C_v (J/(mol·K)) | γ=C_p/C_v | 每莫耳能量 (J/mol) |
|---|---|---|---|---|
| 單原子（He、Ar） | 3 | 12.47 | 1.667 | 3741 |
| 雙原子（N₂、O₂） | 5 | 20.79 | 1.400 | 6236 |
| 多原子線性（CO₂） | 5 | 20.79 | 1.400 | 6236 |
| 多原子非線性（H₂O） | 6 | 24.94 | 1.333 | 7483 |
| 甲烷 CH₄ | 6 | 24.94 | 1.333 | 7483 |
| 高溫雙原子（含振動） | 7 | 29.10 | 1.286 | 8731 |
C_v=(f/2)R；γ=(f+2)/f。單原子 γ=5/3；雙原子 γ=7/5=1.4；多原子 γ=8/6=4/3。
理財情境案例
理想氣體絕熱過程
空氣近似雙原子 f=5，γ=C_p/C_v=7/5=1.4。
絕熱膨脹 PV^γ=const，T·V^(γ-1)=const。
初始 1 atm 300K 壓縮至 1/10 體積 → T₂=T₁·(V₁/V₂)^(γ-1)=300×10^0.4=754K（柴油機壓縮點火原理）。
固體杜隆-珀替定律
固體每原子 3 個振動自由度（動能+勢能各 1/2kT，共 3kT/原子），f=6。
C_v=3R≈24.94 J/(mol·K)，與溫度無關（高溫近似）。
銅摩耳質量 63.5 g/mol，比熱 c=24.94/63.5=0.393 J/(g·K)，與實驗 0.385 J/(g·K) 接近。低溫需德拜模型（T³ 定律）。
常見問題
為什麼雙原子低溫 C_v 只有 3R/2？
量子力學中振動自由度能量量子化 hv≈kT 為啟動閾值。N₂ 振動特徵溫度 θ_v=3374K，室溫 300K≪θ_v，振動凍結，f=3+2=5（僅平動+轉動）。高溫 T>>θ_v 才啟動振動，f=7。這是經典均分定理無法解釋的量子效應。
自由度 f 如何確定？
平動永遠 f=3（三維空間）。轉動：單原子 0、雙原子 2（繞兩軸）、非線性多原子 3。振動：每個振動模態動能+勢能各 1/2kT 貢獻 1 自由度，需 T>>θ_v 才啟動。電子激發需極高溫（θ_e~10⁴ K）。
均分定理何時失效？
(1) 低溫量子效應——自由度凍結，C_v 隨 T 下降；(2) 簡併費米氣體——T<<T_F 時電子熱容僅 kT/T_F 倍；(3) 非簡諧勢——能量與坐標非二次方關係；(4) 強關聯系統——超導、超流不適用；(5) 相對論效應——極高能粒子能量-動量關係非二次。
為什麼黑體輻射也用均分定理？
電磁場每模態為一諧振子，能量動能+勢能各 1/2kT，共 kT/模態。但高頻模態量子化 hv>kT 時不啟動，導致紫外災變（經典預測發散）。普朗克 1900 年量子假設解決：能量量子化 E=nhv，啟動量子統計。
C_p 與 C_v 有何區別？
C_v=(f/2)R（定容，無做功）。C_p=C_v+R（定壓，氣體膨脹做功 R·T）。差額 R 為氣體定壓膨脹對大氣做功。邁爾關係 C_p−C_v=R。絕熱指數 γ=C_p/C_v。液體固體 C_p≈C_v（膨脹做功小）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團科學團隊。⟨E⟩=(f/2)kT；單原子 300K → 6.21e-21 J；C_v=(f/2)R，單原子 12.47 J/(mol·K)。