馬克士威速率分佈計算器
輸入溫度與莫耳質量，計算理想氣體分子最概速率 v_p=√(2kT/m)、平均速率 v_avg=√(8kT/πm)、均方根速率 v_rms=√(3kT/m)。N₂ 300K → v_rms≈517 m/s。
輸入資料
計算結果
重點速覽：馬克士威-波茲曼速率分佈（Maxwell-Boltzmann speed distribution）：理想氣體分子熱運動速率遵循機率分佈 f(v)=4π·(m/(2πkT))^(3/2)·v²·exp(−mv²/(2kT))，其中 m 為分子質量、k 為波茲曼常數、T 為溫度。分佈的三種統計速率：(1) 最概速率 v_p=√(2kT/m)，分佈峰值；(2) 平均速率 v_avg=√(8kT/(πm))，所有分子速率算術平均；(3) 均方根速率 v_rms=√(3kT/m)=√(⟨v²⟩)，速率平方平均的根。三者關係：v_p < v_avg < v_rms（比值 v_p/v_avg/v_rms=√2:√(8/π):√3≈1:1.128:1.225）。經典例：N₂（M=0.028 kg/mol）在 T=300K 下 v_p=422 m/s、v_avg=476 m/s、v_rms=517 m/s；H₂（M=0.002）在同溫下 v_rms≈1918 m/s（輕分子快，可逃逸地球）。歷史：馬克士威 1860 年由氣體動力論推導分佈；波茲曼 1872 年用 H 定理證明分佈為平衡態；1934 年密勒與庫什實驗驗證。應用：(1) 氣體動力論——分子速率決定氣壓、溫度、內能；(2) 化學反應速率——活化能 Ea 限制反應分子比例，阿瑞尼士方程 k=A·exp(−Ea/RT)，反應速率與溫度指數相關；(3) 擴散與黏滯——分子速率決定擴散係數 D≈½·λ·v_avg；(4) 大氣逃逸——行星重力逃逸速度 v_esc=√(2gR)，輕分子（H₂、He）v_rms 高易逃逸，故地球大氣無 H₂/He；(5) 真空技術——分子泵利用分子速率分離氣體；(6) 同位素分離——氣體擴散法濃縮鈾（²³⁵UF₆ 比 ²³⁸UF₅ 略快）；(7) 電漿物理——電子 v_rms 遠高於離子（m_e << m_ion）；(8) 聲速——c=√(γkT/m)=√(γRT/M)，與分子 v_rms 相關。注意：分佈僅適用理想氣體；實際氣體在低溫高壓下偏離；量子氣體（電子氣、超冷原子）需用費米-狄拉克或玻色-愛因斯坦分佈。
計算公式
最概速率：v_p = √(2kT / m) = √(2RT / M)
平均速率：v_avg = √(8kT / (πm)) = √(8RT / (πM))
均方根速率：v_rms = √(3kT / m) = √(3RT / M)
波茲曼常數：k = 1.381 × 10⁻²³ J/K
氣體常數：R = k · N_A = 8.314 J/(mol·K)
亞佛加厥常數：N_A = 6.022 × 10²³ /mol
$$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}, \quad v_{avg} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}, \quad v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$使用說明
- 輸入溫度 T（K）與莫耳質量 M（kg/mol）。
- 系統計算 v_p、v_avg、v_rms 三種統計速率。
- 常用：N₂ 300K → v_rms=517 m/s；H₂ 300K → v_rms=1918 m/s；O₂ 300K → v_rms=482 m/s。
300K 下常見氣體的分子速率
| 氣體 | 莫耳質量 M (kg/mol) | v_p (m/s) | v_avg (m/s) | v_rms (m/s) |
|---|---|---|---|---|
| H₂ 氫氣 | 0.002 | 1579 | 1781 | 1918 |
| He 氦氣 | 0.004 | 1116 | 1259 | 1356 |
| N₂ 氮氣 | 0.028 | 422 | 476 | 517 |
| O₂ 氧氣 | 0.032 | 395 | 445 | 482 |
| CO₂ 二氧化碳 | 0.044 | 337 | 380 | 412 |
輕分子速率高；H₂ 與 He 速率接近地球逃逸速度 11.2 km/s 的 1/6，部分逃逸。
理財情境案例
地球大氣 H₂ 與 He 逃逸
地球逃逸速度 v_esc=11.2 km/s；T=300K 下 H₂ v_rms=1918 m/s。
v_rms/v_esc≈0.17，雖低於逃逸速度，但分佈尾部少量分子速率超過 v_esc。
數十億年累積 H₂、He 大部分逃逸，故地球大氣無 H₂、He 主成分。
溫室氣體 CO₂ 與植物光合作用
CO₂ 莫耳質量 M=0.044 kg/mol，T=300K 下 v_rms≈412 m/s。
分子速率決定擴散至植物葉片的速率，影響光合作用。
溫室中升溫至 310K 可使 CO₂ 速率提高 √(310/300)≈1.017 倍，提升擴散效率。
常見問題
為什麼 v_p < v_avg < v_rms？
速率分佈為偏態分佈（非對稱），高速尾部拉長平均值。最概速率 v_p 為分佈峰值位置；平均速率 v_avg 為算術平均；均方根速率 v_rms 為平方平均的根，受高速分子影響最大。故 v_p<v_avg<v_rms。比值 v_p:v_avg:v_rms=√2:√(8/π):√3≈1:1.128:1.225。
為什麼輕分子速率高？
由 v_rms=√(3kT/m)，速率與 √m 成反比；同溫下分子越輕速率越高。H₂（M=0.002）v_rms=1918 m/s，O₂（M=0.032）僅 482 m/s，H₂ 速率為 O₂ 的 √(32/2)=4 倍。
馬克士威分佈如何影響化學反應速率？
化學反應需克服活化能 Ea，只有速率（動能）足夠高的分子才能反應。速率分佈尾部超過 Ea 的分子比例為 exp(−Ea/RT)（阿瑞尼士方程）。溫度升高尾部擴大，反應速率指數上升，故范特霍夫規則：溫度每升高 10K 反應速率約 2-3 倍。
聲速與分子速率有何關係？
聲速 c=√(γkT/m)=√(γRT/M)，其中 γ=Cp/Cv（理想氣體 γ=5/3 單原子、7/5 雙原子）。空氣中 c≈√(1.4/3)×v_rms≈0.683×v_rms。N₂ 在 300K 下 v_rms=517 m/s，聲速 c≈353 m/s（實測 343 m/s 接近）。
為什麼量子氣體不適用馬克士威分佈？
馬克士威-波茲曼分佈為經典統計（粒子可分辨）。量子氣體在低溫或高密度下需考慮粒子不可分辨性與包立不相容原理：費米子（電子、質子）用費米-狄拉克分佈；玻色子（光子、He⁴）用玻色-愛因斯坦分佈。金屬中電子氣、超冷原子、白矮星內部電子氣皆用量子分佈。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。v_p=√(2kT/m)、v_avg=√(8kT/πm)、v_rms=√(3kT/m)；k=1.381e-23 J/K；N₂ 300K → v_rms=517 m/s。