強森-奈奎斯特雜訊計算器
輸入電阻、溫度與頻寬，計算熱雜訊電壓 v=√(4kTRΔf) 與雜訊功率。R=1kΩ、T=300K、Δf=1Hz → v≈4.07 nV/√Hz。
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計算結果
重點速覽：強森-奈奎斯特雜訊（Johnson-Nyquist noise）：電阻器內自由電子熱運動產生的隨機電壓漲落，又稱熱雜訊（thermal noise）。公式 v_n=√(4·k_B·T·R·Δf)，其中 k_B=1.380649×10⁻²³ J/K、T 為溫度、R 為電阻、Δf 為量測頻測頻寬。雜訊功率 P=4kTΔf（與 R 無關）。電壓譜密度 S_v=4kTR（V²/Hz）。經典例：R=1kΩ、T=300K、Δf=1Hz → v_n≈4.07 nV/√Hz；音響 20kHz 頻寬 → v_n≈575 nV。歷史：強森 1927 年貝爾實驗室發現；奈奎斯特 1928 年推導理論公式。應用：(1) 低雜訊放大器——輸入電阻熱雜訊為本底；(2) 射頻接收——天線等效電阻熱雜訊限制靈敏度；(3) 感測器——電阻溫度感測、應變計；(4) 量子極限——接近絕對零度需考慮量子修正；(5) 隨機數產生器——利用熱雜訊作為熵源。
計算公式
雜訊電壓：v_n = √(4·k_B·T·R·Δf)（V）
雜訊功率：P = 4·k_B·T·Δf（W）
電壓譜密度：S_v = 4·k_B·T·R（V²/Hz）
電流譜密度：S_i = 4·k_B·T/R（A²/Hz）
雜訊電流：i_n = v_n/R = √(4kTΔf/R)（A）
$$v_n = \sqrt{4 k_B T R \Delta f}, \quad S_v = 4 k_B T R, \quad P = 4 k_B T \Delta f$$使用說明
- 輸入電阻 R（Ω）、溫度 T（K）、頻寬 Δf（Hz）。
- 系統計算 v_n=√(4kTRΔf)、P=4kTΔf、S_v=4kTR。
- 常用：1kΩ 300K 1Hz → 4.07 nV/√Hz；1MHz 頻寬 → 4.07 μV。
常見電阻熱雜訊電壓譜密度（T=300K）
| 電阻 R | 譜密度 v_n (nV/√Hz) | 1kHz 頻寬 v_n (μV) | 20kHz 頻寬 v_n (μV) |
|---|---|---|---|
| 50 Ω | 0.91 | 0.91 | 4.07 |
| 100 Ω | 1.28 | 1.28 | 5.75 |
| 1 kΩ | 4.07 | 4.07 | 18.2 |
| 10 kΩ | 12.85 | 12.85 | 57.5 |
| 100 kΩ | 40.7 | 40.7 | 182 |
| 1 MΩ | 128.5 | 128.5 | 575 |
v_n∝√R；電阻每增 100 倍，雜訊電壓增 10 倍。低雜訊電路應選低電阻。
理財情境案例
音響前置放大器雜訊
音響輸入阻抗 1kΩ、頻寬 20kHz、T=300K。
v_n=√(4×1.38e-23×300×1000×20000)=√(3.31e-16)=1.82e-7 V=182 nV。
若訊號 1mV，信噪比 SNR=20log(1e-3/1.82e-7)=74.8 dB。降低輸入電阻至 100Ω → v_n=57.5 nV、SNR=84.8 dB。
射頻接收機靈敏度
天線等效電阻 50Ω、T=300K、頻寬 1MHz。
v_n=√(4×1.38e-23×300×50×1e6)=√(8.28e-13)=0.91 μV。
等效雜訊功率 P=kTΔf=1.38e-23×300×1e6=4.14e-15 W=-113.8 dBm（接收機靈敏度下限）。
常見問題
為什麼熱雜訊稱為白雜訊？
熱雜訊功率譜密度在低頻下均勻（S_v=4kTR 與頻率無關），稱為白雜訊。實際上頻率極高時（hf>kT）需量子修正，300K 下截止頻率約 6 THz，遠高於一般電路頻寬。
如何降低熱雜訊？
(1) 降低電阻 R（v∝√R）；(2) 降低溫度 T（冷卻至液氮 77K 或液氦 4.2K）；(3) 減小頻寬 Δf（窄帶濾波、鎖定放大）。三者結合可達 nV 級。但熱力學第二定律限制無法完全消除。
熱雜訊與散粒雜訊有什麼區別？
熱雜訊由電荷熱運動引起，存在於任何電阻，與電流無關（v=√4kTRΔf）；散粒雜訊由電荷離散性穿過勢壘引起，需直流電流（i=√2eIΔf），存在於二極體、電晶體。兩者皆為白雜訊，但機制不同。
什麼是雜訊溫度？
等效雜訊溫度 T_e 將放大器雜訊折算為電阻熱雜訊：P=kT_eΔf。低雜訊放大器 T_e 可達幾十 K（如射電望遠鏡前置放大器 T_e≈20K）。理想放大器 T_e=0 K，實際受限量子極限。
為什麼射頻常用 50Ω 系統？
50Ω 為同軸電纜損耗與功率容量的折衷。50Ω 熱雜訊譜密度 0.91 nV/√Hz，較低。同軸電纜 77Ω 損耗最小、30Ω 功率容量最大，取中值 50Ω 成為工業標準，方便阻抗匹配。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。v_n=√(4kTRΔf)；1kΩ 300K 1Hz → 4.07 nV/√Hz；P=4kTΔf 與 R 無關。