散粒雜訊計算器
輸入直流電流與頻寬，計算散粒雜訊電流 i=√(2eIΔf)。I=1mA、Δf=1Hz → i≈17.9 pA/√Hz。
輸入資料
計算結果
重點速覽：散粒雜訊（Shot noise）：電荷以離散形式（單個電子）穿過勢壘（如 PN 接面、真空管）時，電流表現為一系列隨機脈衝，其漲落稱為散粒雜訊。公式 i_n=√(2·e·I·Δf)，其中 e=1.602176634×10⁻¹⁹ C 為電子電量、I 為平均直流電流、Δf 為量測頻寬。電流譜密度 S_i=2eI（A²/Hz）。經典例：I=1mA、Δf=1Hz → i_n≈17.9 pA/√Hz；I=1A、Δf=1Hz → i_n≈566 pA/√Hz。歷史：肖特基 1918 年提出散粒雜訊理論。應用：(1) 光電倍增管——光子計數統計漲落；(2) 半導體接面——二極體、電晶體逆向電流；(3) 隧穿接面——單電子電晶體觀測庫侖阻塞；(4) 量子光源——壓縮態可低於散粒雜訊極限；(5) 生物單分子檢測——離子通道電流漲落。
計算公式
雜訊電流：i_n = √(2·e·I·Δf)（A）
電流譜密度：S_i = 2·e·I（A²/Hz）
電子電量：e = 1.602176634×10⁻¹⁹ C
信噪比：SNR = I/i_n = √(I/(2eΔf))
散粒雜訊極限：每秒 I/e 個電子，漲落 √(I/e)
$$i_n = \sqrt{2 e I \Delta f}, \quad S_i = 2 e I, \quad \text{SNR} = \sqrt{\frac{I}{2e\Delta f}}$$使用說明
- 輸入直流電流 I（A）、頻寬 Δf（Hz）。
- 系統計算 i_n=√(2eIΔf) 與譜密度 √(2eI)。
- 常用：1mA 1Hz → 17.9 pA/√Hz；1A 1Hz → 566 pA/√Hz。
散粒雜訊電流譜密度（Δf=1Hz）
| 直流電流 I | 譜密度 i_n (pA/√Hz) | 每秒電子數 I/e | SNR（1Hz） |
|---|---|---|---|
| 1 nA | 0.566 | 6.24e9 | 1.77e3 |
| 1 μA | 17.9 | 6.24e12 | 5.59e4 |
| 1 mA | 566 | 6.24e15 | 1.77e6 |
| 10 mA | 1790 | 6.24e16 | 5.59e6 |
| 1 A | 17800 | 6.24e18 | 5.59e7 |
i_n∝√I；電流增 100 倍、雜訊增 10 倍。SNR∝√I，大電流信噪比更佳。
理財情境案例
光偵測器信噪比
光二極體光電流 I=1μA，量測頻寬 Δf=10kHz。
i_n=√(2×1.602e-19×1e-6×1e4)=√(3.204e-21)=5.66e-11 A=56.6 pA。
SNR=I/i_n=1e-6/5.66e-11=17670=85 dB。增光源亮度使 I=10μA，SNR=176700=105 dB（+20dB）。
光電倍增管單光子檢測
PMT 增益 1e6，單光子脈衝電荷 Q=1e6×e=1.602e-13 C，脈衝電流 1μA 持續 0.16μs。
暗電流 I=1nA，散粒雜訊 i_n=√(2×1.602e-19×1e-9×1)=0.566 pA/√Hz。
單光子脈衝遠大於雜訊（1μA vs 0.566pA），可檢測單光子。降溫降低暗電流可進一步提高靈敏度。
常見問題
散粒雜訊與熱雜訊有何區別？
散粒雜訊需電流穿過勢壘（i=√2eIΔf），與電流成正比，存在於二極體、電晶體；熱雜訊無需電流（v=√4kTRΔf），與電阻和溫度成正比，存在於任何電阻。兩者皆為白雜訊。
什麼是散粒雜訊極限？
光或電流的量子極限：每秒 I/e 個電荷，統計漲落為 √(I/e)，相對漲落 1/√(I/e)=√(2e/I·Δf)。這是經典光源的最低雜訊。壓縮態光源（squeezed state）可低於此極限，用於引力波探測等極限量測。
為什麼電阻沒有散粒雜訊？
電阻中電子在導帶自由移動，無勢壘穿越，電荷連續分佈，故僅有熱雜訊。而 PN 接面、真空管、隧穿接面有勢壘，電荷離散穿越產生散粒雜訊。這是兩者本質區別。
如何降低散粒雜訊？
(1) 增大電流 I（SNR∝√I）；(2) 減小頻寬 Δf（窄帶濾波）；(3) 使用壓縮態光源；(4) 降低暗電流（降溫、遮光）。對於光偵測，增大光源功率或聚光效率是主要手段。
散粒雜訊在什麼頻率下適用？
低頻下散粒雜訊為白雜為白雜訊（譜密度與頻率無關）。高頻下（接近 1/τ，τ 為載子穿越時間）譜密度下降。極高頻或極低溫需考慮量子效應（費米-狄拉克分佈修正）。一般電子學頻率範圍內白雜訊近似成立。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。i_n=√(2eIΔf)；1mA 1Hz → 17.9 pA/√Hz；e=1.602176634e-19 C。