菲涅耳方程式計算器
輸入兩介質折射率，計算反射率 R=((n1-n2)/(n1+n2))² 與臨界角。空氣→玻璃 n=1.5 → R=4%。
輸入資料
計算結果
重點速覽：菲涅耳方程式（Fresnel equations，1823）：電磁波在兩介質界面反射與透射的振幅係數。垂直入射時反射率 R=((n1-n2)/(n1+n2))²，透射率 T=1-R。斜入射需區分 s 偏振（垂直入射面）與 p 偏振（平行入射面）：r_s=(n1·cosθ_i-n2·cosθ_t)/(n1·cosθ_i+n2·cosθ_t)、r_p=(n2·cosθ_i-n1·cosθ_t)/(n2·cosθ_i+n1·cosθ_t)，其中 θ_i、θ_t 滿足司乃耳定律 n1·sinθ_i=n2·sinθ_t。當 n1>n2 時存在全反射臨界角 θc=arcsin(n2/n1)，超過則發生全反射。布魯斯特角 θ_B=arctan(n2/n1) 時 p 偏振完全透射（無反射），可用於偏振片。經典例：空氣→玻璃 n=1.5 → R=4%、T=96%；玻璃→空氣 θc=41.8°；鑽石 n=2.42 → 空氣 θc=24.4°（鑽石璀璨的原因）。歷史：菲涅耳 1823 年推導；麥克斯韋 1865 年電磁理論完整推導。應用：(1) 光學鍍膜——多層介電膜減反射（眼鏡 AR 鍍膜）；(2) 鏡頭設計——多片透鏡介面反射損失；(3) 光纖通訊——全反射傳輸；(4) 太陽眼鏡——偏振片消除路面反射；(5) 雷射腔——高反射鏡鍍膜。
計算公式
垂直入射反射率：R = ((n₁ − n₂)/(n₁ + n₂))²
垂直入射透射率：T = 1 − R
全反射臨界角：θc = arcsin(n₂/n₁)，n₁ > n₂
布魯斯特角：θ_B = arctan(n₂/n₁)，p 偏振零反射
斜入射：r_s, r_p 由菲涅耳係數給出
$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \quad T = 1 - R, \quad \theta_c = \arcsin\frac{n_2}{n_1}$$使用說明
- 輸入入射介質折射率 n₁、折射介質折射率 n₂。
- 系統計算 R=((n1-n2)/(n1+n2))²、T=1-R、臨界角 θc=arcsin(n2/n1)（若 n1>n2）。
- 常用：空氣→玻璃 n=1.5 → R=4%；玻璃→空氣 θc=41.8°；鑽石→空氣 θc=24.4°。
常見介面反射率（垂直入射）
| 介面 | n₁ | n₂ | 反射率 R (%) | 臨界角 θc (°) |
|---|---|---|---|---|
| 空氣→水 | 1.00 | 1.33 | 2.0 | — |
| 空氣→玻璃 | 1.00 | 1.50 | 4.0 | — |
| 空氣→鑽石 | 1.00 | 2.42 | 17.2 | — |
| 水→空氣 | 1.33 | 1.00 | 2.0 | 48.8 |
| 玻璃→空氣 | 1.50 | 1.00 | 4.0 | 41.8 |
| 鑽石→空氣 | 2.42 | 1.00 | 17.2 | 24.4 |
介面反射率對面反射率對稱（n1↔n2 相同 R）；高折射率介質臨界角小，全反射易發生（鑽石璀璨）。
理財情境案例
相機鏡頭 AR 鍍膜
10 片透鏡相機鏡頭共 20 個空氣-玻璃介面，每介面 R=4%。
總透射率 T=0.96^20=0.442，僅 44% 光通過，影像暗淡且有鬼影。
AR 鍍膜（MgF₂ λ/4 膜）可使單介面 R 降至 1%，T=0.99^20=0.82，提升至 82%。多層納米結構鍍膜可達 99.5% 透射，故現代鏡頭色彩鮮豔。
光纖通訊全反射傳輸
單模光纖芯折射率 n1=1.4682、披覆層 n2=1.4629（差 0.0053）。
臨界角 θc=arcsin(1.4629/1.4682)=arcsin(0.99639)=84.8°，數值孔徑 NA=√(n1²-n2²)=0.125。
光在芯內全反射傳輸，可達 100km 不中繼（衰減 0.2dB/km）。光纖通訊承載 95% 國際網路流量，原理即菲涅耳全反射。
常見問題
為什麼鑽石比玻璃璀璨？
鑽石折射率 n=2.42，臨界角 θc=arcsin(1/2.42)=24.4°，遠小於玻璃 41.8°。鑽石內部光線幾乎所有角度都會全反射多次，從頂面出射時分解為彩虹色（色散 0.044）。玻璃臨界角大、光線多從側面透出，缺乏「火彩」。鑽石切工就是為了最大化全反射次數。
為什麼濕沙子比乾沙子暗？
乾沙子表面有許多空氣-砂粒介面，每介面 R=4%（n=1.5），但光在多孔結構內多次散射最終反射出，故白亮。濕沙子水填滿孔隙，介面變為水-砂粒 R=((1.33-1.5)/(1.33+1.5))²=0.4%，光更容易進入沙子內部被吸收，故顯暗。
布魯斯特角有何應用？
布魯斯特角 θ_B=arctan(n2/n1)，p 偏振光完全透射（零反射）。空氣-玻璃 θ_B=56.3°。應用：(1) 太陽眼鏡偏振片——阻擋路面布魯斯特角反射的 s 偏振光（眩光）；(2) 雷射布儒斯特窗——p 偏振零損耗輸出，產生線偏振雷射；(3) 偏振分光鏡——分離 s 與 p 偏振。
什麼是全反射？
光從光密介質（高 n）射向光疏介質（低 n），當入射角 > 臨界角 θc=arcsin(n2/n1) 時，折射角大於 90°（無折射光），所有光反射回光密介質。光纖、潛望鏡、稜鏡反射器、鑽石切工都利用全反射。注意：臨界角附近仍有「漸逝波」滲入光疏介質數十 nm，用於漸逝波顯微鏡與衰減全反射(ATR)紅外光譜。
如何減少界面反射？
(1) 單層 λ/4 介電膜（MgF₂ n=1.38）使上下反射光破壞性干涉，R 從 4% 降至 1%；(2) 多層介電膜堆疊，R 可降至 <0.1%（相機、雷射鏡）；(3) 漸變折射率塗層（如蛾眼納米結構）連續變化 n，反射 R≈0，用於太陽能板、顯示器抗反射。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。R=((n1-n2)/(n1+n2))²；空氣→玻璃 n=1.5 → R=4%、T=96%；玻璃→空氣 θc=41.8°；鑽石→空氣 θc=24.4°。布魯斯特角 θ_B=arctan(n2/n1)。