球面鏡成像計算器
輸入物距與曲率半徑，計算球面鏡成像位置、放大率與像高。凹面鏡 R>0、凸面鏡 R<0。
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計算結果
重點速覽：球面鏡成像公式（mirror equation）：1/f = 1/u + 1/v，其中 f 為焦距、u 為物距、v 為像距。焦距 f = R/2（R 為曲率半徑）。放大率 m = −v/u（負號代表倒立）。符號約定：凹面鏡 R>0、f>0；凸面鏡 R<0、f<0；實物 u>0。成像性質：(1) 凹面鏡：物在焦點外（u>f）成倒立縮小/等大/放大實像；物在焦點與鏡之間（u<f）成正立放大虛像；物在焦點上 u=f 不成像（反射光線平行射出）。(2) 凸面鏡：恆成正立縮小虛像（v<0）。經典例：凹面鏡 R=20cm、u=30cm → f=10cm、v=15cm、m=−0.5（倒立縮小實像）。本工具輸入物距、曲率半徑、物高，輸出像距、放大率、像高、焦距與像性質（實/虛、正/倒）。廣泛用於刮鬍鏡、汽車後視鏡、反射式天文望遠鏡、安防廣角鏡等。
計算公式
焦距：f = R / 2
球面鏡成像公式：1/f = 1/u + 1/v
像距：v = (u·f) / (u − f)
放大率：m = −v / u
像高：h' = m · h
$$f = \frac{R}{2}$$$$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$$$$v = \frac{uf}{u - f}$$$$m = -\frac{v}{u}$$使用說明
- 輸入物距 u（cm）、曲率半徑 R（cm）、物高 h（cm）。
- 凹面鏡 R>0；凸面鏡 R<0。系統自動計算焦距、像距、放大率、像高、像性質。
- u≤0 自動以 1 替代；R=0 自動以 1 替代以避免除零。
凹面鏡 R=20cm（f=10cm）不同物距的成像
| 物距 u (cm) | 像距 v (cm) | 放大率 m | 像性質 |
|---|---|---|---|
| 5 | -10 | 2.0 | 正立放大虛像 |
| 10 | ∞ | ∞ | 不成像（焦點上） |
| 15 | 30 | -2.0 | 倒立放大實像 |
| 20 | 20 | -1.0 | 倒立等大實像 |
| 30 | 15 | -0.5 | 倒立縮小實像 |
| 60 | 12 | -0.2 | 倒立縮小實像 |
u=f 時像距趨無窮大（不成像）；u=2f 時 m=−1（等大倒立）。
理財情境案例
刮鬍鏡（凹面鏡放大）
刮鬍鏡為凹面鏡，典型曲率半徑 R≈60cm、焦距 f=30cm。
臉部置於焦距內（u<f，如 u=20cm）→ 成正立放大虛像。
放大率 m=−v/u，u=20、f=30 → v=−60、m=3，臉部放大 3 倍。
汽車後視鏡（凸面鏡縮小視野）
汽車後視鏡為凸面鏡，曲率半徑 R≈−200cm、焦距 f≈−100cm。
後方物體 u=1000cm → v≈−91cm、m≈0.091。
恆成正立縮小虛像，視野廣、能涵蓋更大範圍。
常見問題
為什麼放大率有負號？
公式 m=−v/u 中的負號代表像相對於物倒立。實像（v>0）m<0 為倒立；虛像（v<0）m>0 為正立。|m|>1 為放大、|m|<1 為縮小。
凹面鏡和凸面鏡成像有什麼不同？
凹面鏡 R>0、f>0：物在焦點外成實像（可倒立縮小/等大/放大）、物在焦點內成正立放大虛像。凸面鏡 R<0、f<0：恆成正立縮小虛像，視野廣，常用於後視鏡、安防鏡。
物在焦點上（u=f）會發生什麼？
此時 1/v=0、v→∞，反射光線平行射出、不成像。這是反射式天文望遠鏡的原理（主鏡置於物鏡焦點收集平行星光），亦即焦點上的物體成像於無窮遠。
球面鏡與薄透鏡公式為何相同？
兩者皆基於傍軸近似（小角度時 sinθ≈tanθ≈θ）。球面鏡 1/f=1/u+1/v（反射）與薄透鏡 1/f=1/u+1/v（折射）形式相同，僅符號約定不同。薄透鏡實物 u>0、實像 v>0；球面鏡凹面 R>0、凸面 R<0。
為什麼汽車後視鏡用凸面鏡而非平面鏡？
凸面鏡恆成正立縮小虛像，能將更大範圍的後方景物壓縮到鏡面中，視野比平面鏡廣、減少盲區。代價是物體看起來變小、距離感失真，因此鏡面常標註「物體比實際更近」。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。1/f=1/u+1/v；m=−v/u；凹面鏡 R>0、凸面鏡 R<0。