菲克第一定律計算器
輸入擴散係數與濃度梯度，計算擴散通量 J=-D·(dC/dx)。D=1e-9、dC/dx=-1e3 → J=1e-6 mol/(m²·s)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：菲克第一定律（Fick's first law，1855）：物質擴散通量與濃度梯度成正比、方向相反，J=-D·(dC/dx)，其中 J 為擴散通量（mol/(m²·s)，單位時間垂直通過單位面積的物質量）、D 為擴散係數（m²/s）、dC/dx 為濃度梯度（mol/m⁴）。負號表示物質由高濃度向低濃度擴散（沿梯度反向）。經典例：D=1e-9 m²/s（水中離子）、dC/dx=-1e3 mol/m⁴ → J=1e-6 mol/(m²·s)≈1e-10 mol/(cm²·s)。歷史：阿道夫·菲克 1855 年提出類比傅立葉熱傳導定律（J=-k·dT/dx）與歐姆定律（J=σ·E）。應用：(1) 化學工程——反應器、吸收塔、薄膜分離；(2) 半導體製造——晶圓摻雜擴散；(3) 生物——細胞膜 O₂/CO₂ 擴散、神經遞質在突觸；(4) 藥物——經皮吸收、控釋劑型；(5) 材料科學——金屬滲碳、固態擴散。
計算公式
擴散通量：J = -D · (dC/dx)（mol/(m²·s)）
穩態擴散：J = D · (C₁-C₂)/L（薄片兩側濃度差）
菲克第二定律：∂C/∂t = D · ∂²C/∂x²（非穩態）
薄膜通量：J = D·K·(C₁-C₂)/L（K 為分配係數）
滲透透過係數：P = D·K
$$J = -D \frac{\partial C}{\partial x}, \quad \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$使用說明
- 輸入擴散係數 D（m²/s）、濃度梯度 dC/dx（mol/m⁴，負值表示濃度下降）。
- 系統計算 J=-D·(dC/dx)，輸出 mol/(m²·s) 與 mol/(cm²·s)。
- 常用：水中離子 D=1e-9、dC/dx=-1e3 → J=1e-6 mol/(m²·s)。
常見擴散係數（25°C）
| 物質 | 介質 | 擴散係數 D (m²/s) | 1秒 RMS 位移 √(2Dt) (μm) |
|---|---|---|---|
| O₂ | 空氣 | 2.1e-5 | 205 |
| O₂ | 水 | 2.1e-9 | 2.05 |
| Na⁺ | 水 | 1.33e-9 | 1.63 |
| 葡萄糖 | 水 | 6.7e-10 | 1.16 |
| 蛋白質(40kDa) | 水 | 1e-10 | 0.45 |
| 碳 | 鐵(γ) | 1e-15 | 0.000045 |
氣體擴散遠快於液體（差 10000 倍）；液體中又遠快於固體（差 10⁵-10¹⁰）。
理財情境案例
肺泡氧氣擴散
肺泡壁厚 0.5μm=5e-7 m；肺泡 O₂ 濃度 7.7mol/m³、毛細血管 5.3mol/m³。
dC/dx=(5.3-7.7)/5e-7=-4.8e6 mol/m⁴；O₂ 在組織 D≈2.1e-11 m²/s（水中）。
J=-2.1e-11×(-4.8e6)=1.0e-4 mol/(m²·s)。肺泡總面積 70m²，每秒擴散約 7mmol O₂，匹配運動時高需求。
半導體晶圓硼擴散
1100°C 矽中硼 D≈1e-17 m²/s；預沉積表面濃度 1e26/m³，深度 1μm 處 0。
dC/dx≈-1e32 mol/m⁴；J=-1e-17×(-1e32)=1e15 mol/(m²·s)（含 1e15 個硼原子/m²·s）。
1 小時擴散總量 3.6e18/m²，摻雜層厚 ~1μm，符合實際製程。氣相預沉積 + 主擴散兩步控制接面深度。
常見問題
為什麼 J 是負的 D·(dC/dx)？
負號確保物質由高濃度流向低濃度。若 dC/dx 為負（濃度沿 x 下降），J 為正——物質沿 +x 方向流。若 dC/dx 為正（濃度沿 x 上升），J 為負——物質沿 -x 方向流。這與傅立葉熱傳導定律（q=-k·dT/dx）形式相同。
菲克第一定律何時適用？
僅適用於穩態擴散（∂C/∂t=0，濃度場不隨時間變化）。非穩態需用菲克第二定律 ∂C/∂t=D·∂²C/∂x²（擴散方程）。穩態常見於薄膜兩側維持固定濃度的情況（如細胞膜、過濾膜）。
為什麼氣體擴散比液體快那麼多？
氣體分子自由徑長（~68nm）、碰撞頻率低（~10⁹/s），D~1e-5 m²/s。液體分子緊密排列，移動受阻（「籠效應」），D~1e-9 m²/s，為氣體的 1/10000。固體擴散需藉空位或晶格間隙，D~1e-15 至 1e-20。
細胞膜擴散與普通擴散有何不同？
細胞膜是疏水脂雙層，親水物質（離子、葡萄糖）幾乎無法直接擴散，需藉蛋白質通道（易化擴散）或主動運輸。氧、二氧化碳、激素等疏水小分子可自由通過膜，遵循菲克定律但 D 為膜內值（受分配係數 K 影響，J=D·K·ΔC/L）。
如何測量擴散係數 D？
(1) 薄膜滲透池——測穩態通量反推 D·K；(2) 等溫滴定熱量法——測濃度梯度衰减；(3) 動態光散射（DLS）——布朗運動；(4) 核磁共振（NMR-DOSY）——測分子擴散係數；(5) 同位素示蹤——放射標記擴散。液相 DLS 與 NMR-DOSY 最常用。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。J=-D·(dC/dx)；D=1e-9、dC/dx=-1e3 → J=1e-6 mol/(m²·s)。肺泡 O₂ 擴散 J≈1e-4 mol/(m²·s)，匹配呼吸需求。