布朗運動計算器
輸入擴散係數與時間，計算均方位移 ⟨x²⟩=2Dt 與 RMS 位移。水 300K、r=1μm → D=2.19e-13、t=1s → √⟨x²⟩≈0.66μm。
輸入資料
計算結果
重點速覽：布朗運動（Brownian motion）：懸浮於流體中的微粒受流體分子持續碰撞而產生的隨機運動。愛因斯坦 1905 年推導：一維均方位移 ⟨x²⟩=2·D·t；三維 ⟨r²⟩=6·D·t；平均絕對位移 ⟨|x|⟩=√(2·D·t/π)。D 為擴散係數（可由史托克斯-愛因斯坦關係 D=kT/(6πηr) 求得）。經典例：水（T=300K、η=1.002e-3 Pa·s）中半徑 r=1μm 粒子 D≈2.19×10⁻¹³ m²/s，1 秒一維 RMS 位移 √⟨x²⟩=√(2·2.19e-13·1)≈0.66μm；r=1nm 粒子 D≈2.19×10⁻¹⁰ m²/s，1 秒位移 20.9μm（小 1000 倍粒子快 1000 倍）。歷史：布朗 1827 年觀察花粉運動；愛因斯坦 1905 年理論；斯莫盧霍夫斯基 1906 年獨立推導；佩蘭 1908 年實驗驗證並測阿伏伽德羅數，獲 1926 諾貝爾獎。應用：(1) 膠體科學——測 D 反推粒子大小；(2) 細胞生物學——蛋白質、囊泡擴散；(3) 環境——PM2.5、奈米材料擴散；(4) 金融——布朗運動模型衍生 Black-Scholes 期權定價；(5) 隨機過程——維納過程數學基礎。
計算公式
一維均方位移：⟨x²⟩ = 2·D·t（m²）
三維均方位移：⟨r²⟩ = 6·D·t（m²）
一維 RMS 位移：√⟨x²⟩ = √(2·D·t)（m）
三維 RMS 位移：√⟨r²⟩ = √(6·D·t)（m）
平均絕對位移：⟨|x|⟩ = √(2·D·t/π)（m）
$$\langle x^2 \rangle = 2Dt, \quad \langle r^2 \rangle = 6Dt, \quad \langle |x| \rangle = \sqrt{\frac{2Dt}{\pi}}$$使用說明
- 輸入擴散係數 D（m²/s）、時間 t（s）。
- 系統計算 ⟨x²⟩=2Dt、⟨r²⟩=6Dt 與 RMS 位移。
- 常用：水 r=1μm D=2.19e-13 t=1s → √⟨x²⟩=0.66μm；r=1nm D=2.19e-10 t=1s → 20.9μm。
水中粒子 1 秒布朗位移（T=300K、η=1.002e-3 Pa·s）
| 粒子 | 半徑 r (m) | 擴散係數 D (m²/s) | 1D RMS 位移 √⟨x²⟩ (μm) | 3D RMS 位移 √⟨r²⟩ (μm) |
|---|---|---|---|---|
| 蛋白質 | 3e-9 | 3.66e-11 | 8.56 | 14.82 |
| 病毒 | 5e-8 | 2.19e-12 | 2.09 | 3.62 |
| 膠體微粒 | 1e-6 | 2.19e-13 | 0.66 | 1.15 |
| 細菌 | 1e-6 | 2.19e-13 | 0.66 | 1.15 |
| 紅血球 | 4e-6 | 5.49e-14 | 0.33 | 0.57 |
| 花粉 | 1e-5 | 2.19e-14 | 0.21 | 0.36 |
D=kT/(6πηr)，r 減半 D 翻倍；3D RMS 為 1D 的 √3≈1.73 倍。
理財情境案例
蛋白質在細胞內的擴散
細胞質 D≈1e-12 m²/s（為水的 1/100，因分子擁擠），蛋白質擴散 1 秒。
√⟨x²⟩=√(2×1e-12×1)=1.41e-6 m=1.41μm。
細胞半徑 10μm，蛋白質擴散跨越細胞需 (√⟨r²⟩=10μm)²/(6D)=1e-10/6e-12≈16.7s，與實測一致。大分子需主動運輸。
PM2.5 在空氣中的布朗擴散
空氣 η=1.8e-5 Pa·s、T=293K；PM2.5 r=1.25μm → D≈9.5e-12 m²/s。
1 小時布朗位移 √⟨x²⟩=√(2×9.5e-12×3600)=2.6e-4 m=0.26mm，相當微小。
PM2.5 在大氣中長距離傳輸主要由風（湍流擴散）主導，布朗擴散僅影響粒子與表面碰撞沉積。
常見問題
為什麼布朗位移與時間的平方根成正比？
⟨x²⟩=2Dt 線性增長，但位移 √⟨x²⟩=√(2Dt)。每步隨機方向，相互抵消，淨位移只按 √N 增長。時間增 100 倍位移僅增 10 倍，這是擴散比直線運動慢的根本原因。
一維與三維 RMS 位移有何差別？
一維 ⟨x²⟩=2Dt；三維 ⟨r²⟩=6Dt（三個獨立方向各 2Dt）。3D RMS 為 1D 的 √3≈1.73 倍。粒子在三維空間擴散時任一方向位移仍按 1D 公式。
細胞內擴散為什麼比水中慢？
細胞質黏度為水的 2-5 倍，且大分子擁擠（分子佔體積 20-30%）造成「異常擴散」——短時間次擴散（α<1）、長時間趨向正常。蛋白質在細胞內 D 約為水中的 1/3-1/10，大分子（>500kDa）幾乎不擴散需主動運輸。
如何測量布朗運動？
(1) 粒子追蹤顯微鏡——追蹤單粒子軌跡算 ⟨x²⟩-t 斜率得 D；(2) 動態光散射（DLS）——測相關函數衰减時間；(3) 螢光相關光譜（FCS）——測螢光漲落時間常數；(4) FRAP 螢光恢復——測漂白恢復速率。粒子追蹤最直觀，DLS 適合快速測粒徑分佈。
布朗運動與金融數學的關係？
愛因斯坦布朗運動數學即「維納過程」。Bachelier 1900 年用於股價模型；Black-Scholes 1973 年期權定價模型核心假設為股價服從幾何布朗運動 dS=μSdt+σSdW。金融「波動率」對應物理的擴散係數。隨機過程理論源於物理，廣泛應用於金融、生物、工程。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。⟨x²⟩=2Dt；水 300K r=1μm D=2.19e-13 t=1s → √⟨x²⟩=0.66μm、√⟨r²⟩=1.15μm。蛋白質水中 D=1e-10 → 1s 位移 14.1μm。