史托克斯-愛因斯坦關係計算器
輸入溫度、黏度與粒子半徑，計算擴散係數 D=kT/(6πηr) 與阻力係數 γ=6πηr。水 300K、r=1μm → D≈2.19e-13 m²/s。
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計算結果
重點速覽：史托克斯-愛因斯坦關係（Stokes-Einstein relation）：球形粒子在流體中布朗運動的擴散係數 D=k_B·T/(6π·η·r)，其中 k_B=1.380649×10⁻²³ J/K 為波茲曼常數、T 為絕對溫度、η 為流體動態黏度、r 為粒子半徑。阻力係數 γ=6πηr（斯托克斯阻力，低雷諾數下）。終端速度 v=F/γ。經典例：水（η=1.002e-3 Pa·s）300K、r=1μm → D≈2.19×10⁻¹³ m²/s；r=1nm → D≈2.19×10⁻¹⁰ m²/s（小粒子擴散快 1000 倍）。歷史：愛因斯坦 1905 年布朗運動理論；斯莫盧霍夫斯基 1906 年獨立推導；斯托克斯 1851 年阻力公式。應用：(1) 蛋白質擴散——測 D 反推分子量與水合半徑；(2) 藥物輸送——奈米載體在血液中擴散；(3) 膠體穩定性——DLVO 理論用 D 計算聚集速率；(4) 細胞內運輸——細胞質黏度測量；(5) 環境科學——PM2.5 大氣擴散。
計算公式
擴散係數：D = k_B·T / (6π·η·r)（m²/s）
阻力係數：γ = 6π·η·r（Ns/m）
終端速度：v = F / γ = F / (6π·η·r)（m/s）
布朗運動位移：⟨x²⟩ = 2·D·t（一維）
波茲曼常數：k_B = 1.380649×10⁻²³ J/K
$$D = \frac{k_B T}{6\pi\eta r}, \quad \gamma = 6\pi\eta r, \quad \langle x^2 \rangle = 2Dt$$使用說明
- 輸入溫度 T（K）、動態黏度 η（Pa·s）、粒子半徑 r（m）。
- 系統計算 D=kT/(6πηr)、γ=6πηr。
- 常用：水 300K r=1μm → D=2.19e-13；r=1nm → D=2.19e-10。
水中粒子擴散係數（T=300K、η=1.002e-3 Pa·s）
| 粒子 | 半徑 r (m) | 擴散係數 D (m²/s) | 1秒均方位移 √⟨x²⟩ (μm) |
|---|---|---|---|
| 病毒 | 5e-8 | 2.19e-12 | 2.09 |
| 蛋白質 | 3e-9 | 3.66e-11 | 8.56 |
| 膠體微粒 | 1e-6 | 2.19e-13 | 0.66 |
| 細菌 | 1e-6 | 2.19e-13 | 0.66 |
| 紅血球 | 4e-6 | 5.49e-14 | 0.33 |
| 花粉 | 1e-5 | 2.19e-14 | 0.21 |
粒子越小擴散越快；D∝1/r。蛋白質擴散 1 秒約 8.6μm，細菌約 0.66μm。
理財情境案例
蛋白質在水中的擴散
血清水 37°C=310K、η=0.69e-3 Pa·s；蛋白質半徑 r=3nm=3e-9 m。
D=1.38e-23×310/(6π×0.69e-3×3e-9)=4.28e-21/3.9e-11≈1.10e-10 m²/s。
1 秒均方位移 √(2Dt)=√(2.2e-10)=1.48e-5 m=14.8μm。
PM2.5 在大氣中的擴散
空氣 η=1.8e-5 Pa·s、T=293K；PM2.5 半徑 r=1.25μm=1.25e-6 m。
D=1.38e-23×293/(6π×1.8e-5×1.25e-6)=4.04e-21/4.24e-10≈9.5e-12 m²/s。
1 小時位移 √(2Dt)=√(2×9.5e-12×3600)=2.6e-4 m=0.26mm（布朗運動微小，大氣擴散主要由湍流主導）。
常見問題
為什麼小粒子擴散更快？
D=kT/(6πηr) 中 D 與 r 成反比。半徑減半，D 翻倍。1nm 粒子比 1μm 粒子 D 大 1000 倍。這也是為什麼奈米藥物在組織中滲透更快。
溫度如何影響擴散？
D∝T 且 η 隨溫度下降。水從 0°C 到 100°C，T 增 37%、η 降 84%，D 總共增約 6 倍。這也是為什麼熱水溶解更快、化學反應高溫更快。
史托克斯-愛因斯坦關係適用條件？
(1) 粒子為剛性球體；(2) 低雷諾數（Re<<1，黏性主導）；(3) 粒子遠大於溶劑分子（連續介質近似）；(4) 稀溶液無粒子間交互作用。奈米級粒子需修正（如滑移邊界修正）。
如何測量擴散係數？
常見方法：(1) 動態光散射（DLS）——測布朗運動相關函數；(2) 螢光相關光譜（FCS）——測螢光強度漲落；(3) 粒子追蹤——顯微鏡追蹤單粒子軌跡；(4) FRAP 螢光恢復——測螢光漂白恢復速率。測得 D 後反推粒子半徑（DLS 常用）。
為什麼細胞內擴散比水中慢？
細胞質黏度 η≈2-5e-3 Pa·s，為水的 2-5 倍；且有大量大分子阻礙（分子擁擠效應），有效 D 為水中的 1/3-1/10。大分子（>500kDa）在細胞內幾乎不擴散，需主動運輸（馬達蛋白沿微管移動）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。D=kT/(6πηr)；水 300K r=1μm → D=2.19e-13 m²/s；r=1nm → D=2.19e-10 m²/s。阻力係數 γ=6πηr。