平均自由徑計算器
輸入分子直徑、壓力、溫度，計算氣體分子平均自由徑 λ=k_B T/(√2πd²p) 與碰撞頻率。
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計算結果
重點速覽：平均自由徑（mean free path）λ：氣體分子在連續兩次碰撞之間平均行進的距離，是氣體動力論的核心量。設分子為直徑 d 的剛球，一個分子以相對速率運動時單位時間掃過的『碰撞柱』體積為 π·d²·v_rel，與其他分子的碰撞頻率為 z=π·d²·n·v_rel（n 為數密度）。考慮麥克斯威爾速率分佈下相對速率的平均並引入 √2 修正，得平均自由徑 λ=1/(√2·π·d²·n)。結合理想氣體狀態方程 p=n·k_B·T，數密度 n=p/(k_B·T)，故 λ=k_B·T/(√2·π·d²·p)。碰撞頻率 z=v_mean/λ，其中 v_mean 為分子平均速率。經典範例：空氣在 STP（p=101325 Pa、T=300 K）下，N₂ 分子 d≈0.37 nm，n=p/(k_B·T)≈2.45×10²⁵ m⁻³，λ≈6.6×10⁻⁸ m≈66 nm，分子平均速率約 470 m/s，碰撞頻率 z≈7×10⁹ Hz——每秒約七十億次碰撞。平均自由徑與壓力成反比：高海拔稀薄空氣中 λ 急劇增大（高層大氣可達數公分至數米）；與溫度成正比；與分子直徑平方成反比。應用：真空技術（低壓下 λ 增大，氣體行為從黏滯流轉為分子流）、氣體黏滯係數導出、熱傳導係數、擴散係數、氣體雷射低壓設計、粒子偵測器氣體壓力選擇。
計算公式
數密度：n = p/(k_B·T)
平均自由徑：λ = 1/(√2·π·d²·n)
平均自由徑：λ = k_B·T/(√2·π·d²·p)
碰撞頻率：z = v/λ
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} n}$$$$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} p}$$$$z = \frac{\bar{v}}{\lambda}$$使用說明
- 輸入分子直徑 d（nm）、壓力 p（Pa）、溫度 T（K）。
- 系統計算數密度 n、平均自由徑 λ（nm 與 m）。
- 若平均速率 v>0，另計算碰撞頻率 z=v/λ；v=0 只計算自由徑。
N₂ 分子在 T=300 K 不同壓力下的平均自由徑
| 壓力 p (Pa) | 數密度 n (m⁻³) | 平均自由徑 λ |
|---|---|---|
| 101325（1 atm） | 2.45e25 | 66 nm |
| 1333（10 Torr） | 3.22e23 | 5.0 μm |
| 1.33（10⁻² Torr） | 3.22e20 | 5.0 mm |
| 0.00133（10⁻⁵ Torr） | 3.22e17 | 5.0 m |
| 1.33e-5（超高真空） | 3.22e15 | 500 m |
| 本例：101325 | 2.45e25 | 66 nm |
平均自由徑與壓力成反比；低壓下 λ 急劇增大，氣體行為由連續流轉為分子流。
理財情境案例
空氣在標準狀態下的碰撞
N₂：d=0.37 nm、p=101325 Pa、T=300 K。
n=p/(k_B·T)≈2.45×10²⁵ m⁻³，λ≈66 nm。
平均速率 v≈470 m/s，碰撞頻率 z=v/λ≈7×10⁹ Hz——每秒約七十億次碰撞。
超高真空下的分子流
半導體製程腔體 p=1.33×10⁻⁵ Pa、T=300 K。
λ≈500 m，遠大於腔體尺寸（約 0.5 m）。
分子之間幾乎不碰撞，與器壁碰撞為主——這是分子流區域，氣體行為與常壓截然不同。
常見問題
為什麼平均自由徑公式中有 √2 係數？
推導平均自由徑時若假設其他分子靜止，碰撞截面為 πd²。實際氣體中其他分子也在運動，相對速率分佈需考慮麥克斯威爾分佈。考慮相對速率後的有效碰撞截面為 √2·πd²，多出的 √2 反映相對運動使碰撞更頻繁，自由徑相應縮短為 1/√2 倍。
為什麼平均自由徑與壓力成反比？
由 λ=k_B T/(√2πd²p)，固定溫度下 λ 與 p 成反比。壓力越大表示數密度 n 越大（n=p/k_B T），單位體積內分子越多，碰撞機率越大，故自由徑越短。反之低壓下分子稀疏，碰撞稀少，自由徑變長。這就是高真空下分子可長距離自由飛行、用於粒子加速器與表面分析儀的原因。
平均自由徑與氣體黏滯係數有什麼關係？
氣體黏滯係數 η=½·ρ·v_mean·λ，其中 ρ 為密度、v_mean 為平均速率、λ 為平均自由徑。代入 λ=k_B T/(√2πd²p) 與 ρ=pm/(k_B T)，黏滯係數 η∝√T·√m/d²——與壓力無關、只與溫度的平方根成正比。這是動力論的重要預測，實驗證實在中等壓力下氣體黏滯確實幾乎與壓力無關。
為什麼分子直徑對自由徑的影響是平方關係？
碰撞截面積 A=πd²，與直徑平方成正比。自由徑 λ=1/(√2·n·A)∝1/d²。直徑加倍則截面積四倍、自由徑減為 1/4。這解釋了大分子（如聚合物、氣溶膠）即使在常壓下自由徑也比小分子短得多。
什麼是分子流與黏滯流的分界？
當平均自由徑 λ 遠小於管道特徵尺寸（如直徑 D）時，分子間碰撞為主，氣體連續流動稱黏滯流；當 λ≫D 時分子與器壁碰撞為主，氣體行為離散稱分子流。以 Knudsen 數 Kn=λ/D 區分：Kn<0.01 為黏滯流，Kn>10 為分子流，中間為過渡流。真空泵設計必須考慮此分界。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。λ=1/(√2πd²n)=k_B T/(√2πd²p)；碰撞頻率 z=v/λ；STP 下空氣 λ≈66 nm。