法拉第電磁感應定律計算器
輸入線圈匝數、磁通變化與時間，計算感應電動勢。N=100, dΦ=0.05Wb, dt=0.1s → |ε|=50V。
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計算結果
重點速覽：法拉第電磁感應定律（Michael Faraday 1831，英國）：穿過閉合迴路的磁通隨時間變化時，迴路中感應出電動勢 ε=-N·dΦ/dt。其中 N 為線圈匝數、Φ=∫B·dA 為磁通（韋伯 Wb）、t 為時間。負號由 Lenz 定律（Heinrich Lenz 1834）：感應電流方向使其產生的磁場反對原磁通變化（能量守恆要求）。推導：Maxwell 方程組的 Faraday 微分式 ∇×E=-∂B/∂t，積分於閉合迴路得 ε=∮E·dl=-dΦ/dt。N 匝線圈則 ε=-N·dΦ/dt。物理意義：(1) 磁場變化產生電場（非靜電場，有旋度）；(2) 機械能可轉電能（發電機）；(3) 能量守恆與 Lenz 定律一致（反對變化故需做功維持）。歷史：Faraday 1831 發現電磁感應（獨立 Henry 美國），奠定發電機、變壓器、馬達基礎。應用：(1) 發電機（機械能→電能）；(2) 變壓器（交流電壓轉換）；(3) 電磁爐（渦電流加熱）；(4) 無線充電（磁共振耦合）；(5) 麥克風、電吉他拾音器；(6) 磁浮剎車（渦電流剎車）。
計算公式
感應電動勢：ε = -N·dΦ/dt
磁通：Φ = ∫B·dA = B·A·cosθ
Lenz 定律：負號表反對磁通變化
Faraday 微分式：∇×E = -∂B/∂t
N 匝線圈：ε = -N·dΦ/dt
$$\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt}, \quad \Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = BA\cos\theta, \quad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$使用說明
- 輸入線圈匝數 N（≥1）。
- 輸入磁通變化 ΔΦ（Wb）。
- 輸入時間變化 Δt（s）。
- 系統計算感應電動勢 |ε|、磁通變化率與帶符號電動勢。
N=100 匝線圈各情境感應電壓
| 情境 | dΦ (Wb) | dt (s) | |ε| (V) |
|---|---|---|---|
| 磁鐵插入 | 0.05 | 0.1 | 50.0 |
| 變壓器芯 | 0.01 | 0.02 | 50.0 |
| 地磁變化 | 1e-5 | 1 | 0.001 |
| 快速開關 | 0.1 | 0.001 | 10000.0 |
| 緩慢變化 | 0.05 | 10 | 0.5 |
|ε| 正比於 N 與 dΦ/dt。變化越快電壓越高。dt=0 時程式回 0 避免除零（物理上為無窮大，實際有電感與電容限制）。
理財情境案例
發電機原理
線圈在磁場中旋轉，磁通 Φ=BA·cos(ωt) 隨時間變化，感應 ε=NBA·ω·sin(ωt) 為交流電。
香港電網 50Hz、220V。青山發電廠、龍鼓灘發電廠以蒸汽渦輪驅動發電機。
再生能源（太陽能、風能）亦通過發電機或光伏轉電。三峽大壩水力發電單機 700MW。香港南丫島有風力發電機組。
變壓器與無線充電
變壓器原線圈通交流電在鐵芯產生變化磁通，副線圈感應電壓 V₂/V₁=N₂/N₁。降壓變壓器 N₂<N₁。
香港電網高壓輸電 11kV→400kV 變壓升壓減少損耗，到用戶再降為 220V。變壓器效率 95-99%。
無線充電（Qi 標準）利用磁共振耦合，香港機場、咖啡店常見。手機、電動牙刷皆用。變壓器為法拉第定律最直接應用。
常見問題
為什麼 Lenz 定律有負號？
Lenz 定律（1834）：感應電流方向使其產生的磁場反對原磁通變化。若磁通增加，感應電流產生反向磁場減少淨通量；若減少則產生同向磁場維持。負號確保能量守恆：反對變化需外力做功維持，機械能轉電能。若方向相反則正反饋，違反能量守恆。故 ε=-dΦ/dt 必有負號。
直流電為什麼不能用變壓器？
變壓器依賴磁通變化（dΦ/dt≠0）感應電壓。直流電產生恆定磁通 dΦ/dt=0，副線圈無感應電壓。需交流電（或脈動直流）才有變化磁通。這是為什麼長距離輸電用交流（變壓升壓降損耗）。現代高壓直流（HVDC）輸電用電力電子轉換，效率高但成本高。
發電機與馬達有何關係？
互逆。發電機：機械能（轉動線圈）→電能（感應電壓），法拉第定律。馬達：電能→機械能（安培力推動線圈），安培定律 F=BIL。直流馬達通電旋轉；同軸發電機反向旋轉發電。再生剎車將馬達反轉為發電機回收能量（電動車、混合動力車用）。
為什麼磁鐵插入線圈才感應電流？
磁鐵靜止時磁通恆定 dΦ/dt=0，無感應電壓。插入或拔出時磁通變化 dΦ/dt≠0，感應電壓驅動電流。磁鐵與線圈相對運動（或線圈旋轉）為變化磁通來源。法拉第最初實驗即此。電磁爐利用交流電磁場變化在鍋底感應渦電流發熱。
感應電壓可以無窮大嗎？
理論上 dt→0 時 ε→∞，但實際有線圈電感、電容、電阻限制。線圈電感產生反電動勢 ε_L=-L·di/dt 限制電流上升率。開關斷開時電感反電動勢可達數千伏（汽車點火線圈用此產生火花）。但開關有弧光放電、半導體擊穿等限制。故程式 dt=0 回 0 為安全處理，實際物理上需考慮電感。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ε=-N·dΦ/dt。Faraday 1831、Lenz 1834。負號確保能量守恆。變壓器需交流（dΦ/dt≠0）。發電機與馬達互逆。磁通變化產生有旋電場。Maxwell 微分式 ∇×E=-∂B/∂t。