庫倫位能計算器
輸入兩電荷與距離，計算庫倫位能 U=k·q₁·q₂/r。q₁=1C、q₂=1C、r=1m → U≈8.988×10⁹ J。
輸入資料
計算結果
重點速覽：庫倫位能（Coulomb potential energy）：兩點電荷 q₁、q₂ 相距 r 時的靜電位能 U=k·q₁·q₂/r，其中 k=8.9875517873681764×10⁹ N·m²/C² 為庫倫常數（=1/(4πε₀)，ε₀=8.854e-12 F/m 為真空電容率）。同號電荷 U>0（排斥力，靠近需做正功）、異號電荷 U<0（吸引力，分離需做正功）。位能零點取無窮遠處（r→∞ 時 U→0）。歷史：庫侖 1785 年用扭秤實驗確立庫侖定律；卡文迪許更早（1773 年）但未發表。經典例：q₁=q₂=1μC、r=1cm → U=8.99e9×1e-6×1e-6/0.01=0.899 J；氫原子 e-e 距離 0.053nm（玻爾半徑）→ U=-27.2 eV。應用：(1) 化學鍵——離子鍵、共價鍵與靜電位能；(2) 離子晶體——晶格能 Madelung 常數；(3) 靜電加速器——Van de Graaff；(4) 粒子物理——庫倫散射盧瑟福實驗；(5) 電漿物理——德拜屏蔽。
計算公式
庫倫位能：U = k·q₁·q₂ / r
庫倫常數：k = 1/(4π·ε₀) ≈ 8.988×10⁹ N·m²/C²
電場大小：E = k·|q| / r²
力（向量）：F = k·q₁·q₂ / r²（牛頓）
位能差：ΔU = k·q₁·q₂·(1/r₂ - 1/r₁)
$$U = \frac{k q_1 q_2}{r}, \quad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.988 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2$$使用說明
- 輸入電荷 q₁、q₂（C）與距離 r（m）。
- 系統計算 U=kq₁q₂/r（J）、電場 E（V/m）、庫倫常數 k。
- 常用：q₁=q₂=1μC、r=1cm → U≈0.899 J；氫原子 → U=-27.2 eV。
典型庫倫位能範例
| 系統 | q₁ (C) | q₂ (C) | r (m) | U (J) |
|---|---|---|---|---|
| 1μC @ 1cm | 1e-6 | 1e-6 | 0.01 | 0.899 |
| 1μC @ 1m | 1e-6 | 1e-6 | 1 | 0.00899 |
| 1C @ 1m | 1 | 1 | 1 | 8.988e9 |
| 氫原子 | -1.6e-19 | 1.6e-19 | 5.3e-11 | -4.36e-18 |
| NaCl 離子鍵 | -1.6e-19 | 1.6e-19 | 2.8e-10 | -8.24e-19 |
| 閃電雲 | 10 | -10 | 1000 | -8.988e8 |
U=kq₁q₂/r。同號 U>0、異號 U<0。1 eV=1.6e-19 J，氫原子庫倫位能 -27.2 eV（含動能總能 -13.6 eV）。
理財情境案例
氫原子庫倫位能與玻爾模型
氫原子電子-質子距離為玻爾半徑 a₀=0.529×10⁻¹⁰ m，庫倫位能 U=-k·e²/a₀=-8.988e9×(1.6e-19)²/(5.29e-11)=-4.36e-18 J=-27.2 eV。
玻爾模型：電子繞質子圓周運動，庫倫力=向心力 k·e²/a₀²=m·v²/a₀，動能 K=½mv²=13.6 eV（位能絕對值一半，符合維里定理）。
總能量 E=K+U=13.6-27.2=-13.6 eV（游離能）。量子力學修正後仍為 -13.6 eV，驗證玻爾模型正確性。
Van de Graaff 靜電加速器
Van de Graaff 加電荷至金屬球殼，電荷均勻分佈表面，內部電場為零（法拉第籠）。球殼半徑 R=0.5m、電荷 Q=1μC → 電壓 V=k·Q/R=8.988e9×1e-6/0.5=1.8e4 V=18 kV。
質子從接地被加速至高壓端，獲得動能 K=eV=18 keV。串聯多個加速器可達 MeV 級，用於核物理實驗。
現代范德格拉夫加速器可達 25 MV（橡樹嶺 Holifield），用於重離子核物理與材料分析（PIXE、RBS）。
常見問題
為什麼同號電荷位能為正、異號為負？
位能零點取無窮遠（U(∞)=0）。同號電荷靠近時外力需克服排斥力做正功，位能升高（U>0）；異號電荷靠近時吸引力做正功，位能降低（U<0）。數學上 U=kq₁q₂/r：q₁q₂>0 時 U>0，q₁q₂<0 時 U<0。這與重力位能 U=-GMm/r 類似（吸引力對應負位能）。
庫倫常數 k 與真空電容率 ε₀ 的關係？
k=1/(4πε₀)，其中 ε₀=8.854187817e-12 F/m 為真空電容率（電容率常數）。代入得 k=1/(4π×8.854e-12)=8.9875517873681764e9 N·m²/C²。國際單位制中 ε₀ 是定義常數（由光速 c 和磁導率 μ₀ 推導：ε₀=1/(μ₀c²)），精度極高。
如何由位能計算庫倫力？
庫倫力為位能的負梯度：F=-dU/dr=k·q₁·q₂/r²（徑向向量）。對 U=kq₁q₂/r 求導 dU/dr=-kq₁q₂/r²，取負號得 F=kq₁q₂/r²（同號為正即排斥、異號為負即吸引）。力是向量、位能是純量，位能更易處理多電荷系統（叠加原理）。
離子晶體的晶格能如何計算？
NaCl 晶體中每個離子有 6 個最近鄰異號離子（距離 r₀）、12 個次鄰同號（r₀√2）等，位能總和 U=-k·e²·M/r₀，M 為 Madelung 常數（NaCl M=1.7476）。NaCl r₀=0.282nm → 庫倫位能 -8.95 eV，加上排斥項（玻恩指數 n=8）淨晶格能 -7.95 eV（實測 -7.94 eV）。
為什麼質子不會在原子核內互相排斥？
原子核內質子間庫倫位能極大：鈾 238 核半徑 7.4fm，Z=92 質子間平均庫倫能 U≈k·e²·Z(Z-1)/(2R)≈6×10⁶ eV×Z²/A^(1/3)≈25 MeV/核子。庫倫排斥使重核不稳定（α衰變、裂變）。但核力（強相互作用）在 1-3fm 範圍遠強於庫倫力（~100倍），吸引核子結合。輕核（A<60）核力主導穩定，重核庫倫力主導不穩定。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。庫倫位能 U=kq₁q₂/r，k=8.988e9 N·m²/C²。q₁=q₂=1μC、r=1cm → U≈0.899 J。同號 U>0（排斥）、異號 U<0（吸引）。氫原子 a₀=0.529nm → U=-27.2 eV、總能 -13.6 eV。NaCl 晶格能 Madelung 常數 1.7476。