布拉格繞射計算器
輸入繞射階數 n、晶面間距 d 與角度 θ，計算布拉格繞射波長 λ=2d·sinθ/n。X 射線繞射分析晶體結構。
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計算結果
重點速覽：布拉格繞射（Bragg diffraction）nλ=2d·sinθ：X 射線入射晶體時，被晶面反射的光線發生干涉。當路徑差為波長整數倍時建設性干涉形成繞射峰。公式 nλ=2d·sinθ 由 William Henry Bragg 與 William Lawrence Bragg 父子於 1913 年提出，用於解釋 X 射線繞射圖樣並測定晶體結構。符號說明：n 為繞射階數（正整數，一階 n=1 主峰最強）、λ 為 X 射線波長（Å，埃，1 Å=0.1 nm）、d 為晶面間距（Å）、θ 為布拉格角（入射光與晶面夾角，非與法線夾角）。物理意義：相鄰兩晶面反射光路徑差為 2d·sinθ；當此差等於 n·λ 時建設性干涉。經典例：NaCl 晶體 d=2.82 Å、Cu Kα 射線 λ=1.54 Å、n=1 → sinθ=1.54/(2×2.82)=0.273 → θ≈15.85°。應用：(1) XRD（X 射線繞射儀）測定未知晶體結構——掃描 θ 得繞射峰，反推 d 後查資料庫鑑定；(2) 蛋白質晶體學測定蛋白質三維結構（劍橋大學 Perutz、Kendrew 1950 年代首次測定肌紅蛋白、血紅蛋白）；(3) DNA 雙螺旋結構的關鍵證據來自 Rosalind Franklin 的 X 射線繞射圖（1952 年「Photo 51」）；(4) 材料科學分析合金相組成、殘留應力、晶粒尺寸；(5) 半導體工業測量矽晶圓晶格常數。
計算公式
布拉格繞射條件：n·λ = 2·d·sinθ
波長：λ = 2·d·sinθ / n
晶面間距：d = n·λ / (2·sinθ)
繞射角：sinθ = n·λ / (2·d)
$$n\lambda = 2d\sin\theta$$$$\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n}$$使用說明
- 輸入繞射階數 n（正整數）、晶面間距 d（Å）、繞射角 θ（度）。
- 系統計算波長 λ=2d·sinθ/n（Å）與 θ 弧度值。
- n≤0 自動取 1；θ 範圍 0-90°。
NaCl 晶體（d=2.82 Å）不同角度下的繞射波長
| 角度 θ (°) | 一階波長 λ (Å) | 二階波長 λ (Å) | 三階波長 λ (Å) |
|---|---|---|---|
| 5 | 0.491 | 0.245 | 0.164 |
| 10 | 0.979 | 0.490 | 0.326 |
| 15 | 1.459 | 0.730 | 0.486 |
| 20 | 1.929 | 0.965 | 0.643 |
| 30 | 2.820 | 1.410 | 0.940 |
| 45 | 3.987 | 1.994 | 1.329 |
階數 n 越大波長越短；θ=30° 時一階波長恰等於 d=2.82 Å。
理財情境案例
NaCl 晶體 XRD 分析
NaCl 晶體 d=2.82 Å，使用 Cu Kα 射線 λ=1.54 Å。
n=1 時 sinθ=1.54/(2×2.82)=0.273 → θ≈15.85°。
XRD 儀在 θ≈15.85° 處測得一階繞射峰，可鑑定為 NaCl 結構。
蛋白質晶體學測定結構
蛋白質晶體 d 約 3-100 Å（典型 5-10 Å），使用同步輻射 X 射線 λ≈1 Å。
n=1 時 θ=arcsin(1/(2×5))≈5.74°，掃描獲得數千個繞射點。
通過相位解析獲得電子密度圖，重建蛋白質原子三維結構——劍橋團隊 1958 年完成首個蛋白質（肌紅蛋白）結構。
常見問題
布拉格角 θ 是什麼？
布拉格角 θ 是入射 X 射線與晶面（而非法線）的夾角。注意：在 XRD 儀器中常測量 2θ（入射光與繞射光的夾角），故文獻中看到的「2θ=30°」對應布拉格角 θ=15°。
為什麼只有特定角度出現繞射峰？
布拉格條件 nλ=2d·sinθ 是建設性干涉的條件。只有滿足此式的角度 θ 才會形成繞射峰；其他角度因破壞性干涉而抵消。XRD 掃描 2θ 時記錄繞射強度，可得一系列峰，每個峰對應一組 (n, d)。
階數 n 對繞射有什麼影響？
n 為繞射階數（路徑差為 n 個波長）。n=1 為一階（主峰最強）、n=2 為二階（強度較弱）等。實際 XRD 中高階峰強度迅速衰減，主要觀察 n=1。可由 nλ=2d·sinθ 推導：對同一組晶面，n 增大使 θ 增大或 λ 減小。
如何由 XRD 圖樣鑑定晶體？
測量多個繞射峰的 2θ 角後，由布拉格公式反推 d 值；再對照資料庫（如 ICDD PDF 卡片）匹配。每種晶體有獨特的 d 值組合（指紋效應），故 XRD 可鑑定未知材料、確定晶系與晶格常數、分析合金相組成。
布拉格繞射能否用於中子或電子繞射？
可以。布拉格公式適用於所有具有波動性質的粒子——中子繞射（確定磁結構、輕元素位置）、電子繞射（TEM/LEED 表面結構）都基於相同原理，僅波長範圍不同（電子 0.01-0.1 Å、中子 1-10 Å、X 射線 0.5-2 Å）。中子對輕元素（氫）敏感度高於 X 射線。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。nλ=2d·sinθ；θ 為布拉格角（與晶面夾角）；n=1 主峰最強；d 單位 Å。