債券凸性計算器
由債券初始價格、殖利率上下變動後的價格與殖利率變動幅度，計算債券凸性 (convexity)，補足存續期的線性近似，更準確估算利率大幅變動下的價格反應。
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計算結果
重點速覽：債券凸性 (Convexity) 量度『債券價格與殖利率關係曲線』的彎曲程度，補足存續期的線性假設。採價格重估法：凸性 = (P− + P+ − 2 × P0) ÷ (P0 × Δy²)，其中 P0 為初始價格、P− 為殖利率下降後價格、P+ 為殖利率上升後價格、Δy 為殖利率變動幅度 (小數)。
計算公式
凸性 = (P− + P+ − 2 × P0) ÷ (P0 × Δy²)。
其中 P0=初始價格、P−=殖利率下降後價格、P+=殖利率上升後價格、Δy=殖利率變動幅度 (小數)。
$$\text{Convexity} = \dfrac{P_- + P_+ - 2P_0}{P_0 \times (\Delta y)^2}$$$$\dfrac{\Delta P}{P} \approx -D \times \Delta y + \tfrac{1}{2}\,\text{Convexity} \times (\Delta y)^2$$使用說明
- 輸入債券目前的初始價格 (P0)。
- 輸入殖利率下降指定幅度後的重估價格 (P−)。
- 輸入殖利率上升同幅度後的重估價格 (P+)。
- 輸入上下重估所用的殖利率變動幅度 (Δy)。
- 查看債券凸性。
初始價格 P0 = HK$1,000、殖利率變動 ±0.5% 時，不同重估價格對應的凸性
| 殖利率下降後 (P−) | 殖利率上升後 (P+) | Δy | 凸性 | 解讀 |
|---|---|---|---|---|
| HK$1,015 | HK$986 | ±0.5% | 40 | 凸性偏低，價格反應接近直線 |
| HK$1,025 | HK$977 | ±0.5% | 80 | 中等凸性 |
| HK$1,032 | HK$971 | ±0.5% | 120 | 本工具預設值，凸性明顯 |
| HK$1,050 | HK$955 | ±0.5% | 200 | 高凸性，曲率大、價格保護強 |
情境案例
案例一：從重估價格算凸性
某債券初始價格 P0 = HK$1,000。當殖利率下降 0.5% 時價格升至 P− = HK$1,032；上升 0.5% 時跌至 P+ = HK$971，Δy = 0.005。
凸性 = (1,032 + 971 − 2 × 1,000) ÷ (1,000 × 0.005²) = 3 ÷ 0.025 = 120。此凸性可搭配存續期一起估算大幅利率變動下的價格反應。
案例二：凸性修正如何影響價格估算
延續上例，假設存續期 D = 6.1、凸性 = 120。若殖利率上升 1% (Δy = +0.01)，價格變動 ≈ −6.1 × 0.01 + 0.5 × 120 × 0.01² = −0.055，即約下跌 5.5%，比單看存續期的 6.1% 為佳。
若殖利率下降 1% (Δy = −0.01)，價格變動 ≈ 6.1 × 0.01 + 0.5 × 120 × 0.0001 = 0.067，即約上漲 6.7%。可見凸性修正讓下跌變小、上漲變大，這正是正凸性對持有人有利的體現。
常見問題
凸性到底代表什麼？為什麼投資者喜歡高凸性？
凸性衡量的是『債券價格與殖利率之間關係曲線的彎曲程度』。存續期告訴你這條曲線在當前這一點的斜率 (即利率小幅變動時價格大約變多少)，但這條曲線的斜率本身會隨殖利率而改變 — 當殖利率下降時，價格上升的速度越來越快;當殖利率上升時，價格下跌的速度越來越慢。這種『加速上漲、減速下跌』的特性，就是正凸性帶來的好處。對投資者而言，正凸性是一種『不對稱的有利性質』:在相同的存續期下，凸性越大，代表利率下降時你賺得比存續期估計的更多、利率上升時你虧得比存續期估計的更少 — 無論利率往哪個方向大幅變動，實際結果都比只用存續期預測的『更好一點』。因此，在兩張存續期相同的債券之間，投資者通常會偏好凸性較高的那一張，因為它在利率波動時能提供額外的價格保護與上行空間。這也是為什麼在利率高度不確定的環境中，高凸性的債券 (或債券組合) 往往更受青睞。
凸性和存續期要怎麼一起用來估算價格變動？
存續期提供第一層 (線性) 近似，凸性提供第二層 (曲率) 修正，兩者結合能較準確地估算利率大幅變動下的價格反應。完整的估算公式為：價格變動百分比 ≈ −存續期 × Δy + 0.5 × 凸性 × Δy²;其中 Δy 是殖利率的變動幅度 (以小數表示，例如上升 1% 就是 +0.01，下降 1% 就是 −0.01)。第一項『−存續期 × Δy』是存續期效果，主導小幅利率變動下的價格變化，符號為負代表價格與利率反向。第二項『0.5 × 凸性 × Δy²』是凸性修正，由於 Δy 取平方後恆為正、且凸性通常為正，這一項恆為正，所以它總是讓實際價格變動比單看存續期時『更有利』一些。舉例：假設某債券存續期 6.1、凸性 120，若殖利率上升 1% (Δy = +0.01)，則價格變動 ≈ −6.1 × 0.01 + 0.5 × 120 × 0.01² = −0.061 + 0.006 = −0.055，即約下跌 5.5% (而非單看存續期的 6.1%);若殖利率下降 1% (Δy = −0.01)，則 ≈ −6.1 × (−0.01) + 0.5 × 120 × 0.0001 = 0.061 + 0.006 = 0.067，即約上漲 6.7%。可見在大幅變動時，凸性修正讓下跌變小、上漲變大，這正是正凸性對持有人有利的體現。你可搭配本站的『有效存續期計算器』一起使用。
凸性和存續期有甚麼分別？
存續期 (duration) 是價格-殖利率曲線在當前點的『斜率』,提供第一階 (線性) 近似，只在利率小幅變動時夠準;凸性 (convexity) 則是曲線的『曲率』,提供第二階修正，在利率大幅變動時才變得重要。兩者一起用能較準確估算價格反應：價格變動% ≈ −存續期 × Δy + 0.5 × 凸性 × Δy²。簡單說，存續期告訴你價格會動多少 (方向與大致幅度)，凸性告訴你這個幅度會隨利率而『加速或減速』。
甚麼是負凸性？哪些債券會出現？
一般債券的凸性為正 (價格-殖利率曲線向下凸)，但含嵌入式期權的債券可能在某些殖利率區間出現『負凸性』。最典型是可贖回債券 (callable bond)：當市場利率下跌到接近票面利率時，發行人有誘因提前贖回，令債券價格上升受限，價格-殖利率曲線在該區間反而向上凸，形成負凸性。抵押貸款證券 (MBS) 因借款人可提前還款，也常有負凸性。負凸性對持有人不利 — 利率下跌時上漲空間被『封頂』,分析時需特別留意。
凸性數字越大越好嗎？有沒有代價？
在存續期相同的前提下，凸性越大確實越有利，因為它提供更好的價格保護與上行空間。但凸性並非免費 — 高凸性通常伴隨較低的殖利率 (投資者願意為這份『保險』付出溢價)，或來自到期日較分散、票息較低的組合結構。因此選債時要在殖利率、存續期與凸性之間取捨：若預期利率波動大，付出少許殖利率換取高凸性可能划算;若預期利率平穩，則未必值得為凸性犧牲收益。凸性只是風險管理的一環，仍須結合信用風險、流動性與投資目標綜合判斷。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義財經團隊。計算邏輯與公式參考香港金融管理局（HKMA）及投資者及理財教育委員會（IFEC）之個人理財計算指引，結果僅供參考，實際以相關機構公佈為準。