Black-Scholes 期權定價計算器
以 Black-Scholes 模型計算歐式認購 (Call) 與認沽 (Put) 期權的理論價格，輸入標的現價、行使價、年期、無風險利率與波動率。
輸入資料
計算結果
重點速覽：Black-Scholes 模型是計算『歐式期權』(只能在到期日行使) 理論價格的經典公式，由 Fischer Black、Myron Scholes 與 Robert Merton 提出。它以五個輸入 —— 標的現價 S、行使價 K、到期年期 T、無風險年利率 r、年化波動率 σ —— 算出認購 (call) 與認沽 (put) 期權的理論價值。核心公式:d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] ÷ (σ·√T);d2 = d1 − σ·√T;Call = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2);Put = K·e^(−rT)·N(−d2) − S·N(−d1),N(·) 為標準常態累積分佈函數。以 S=100、K=100、T=1、r=5%、σ=20% 為例，Call ≈ HK$10.45、Put ≈ HK$5.57。波動率越高，期權價值越高。⚠️ 模型假設價格服從對數常態、波動率與利率固定、無交易成本、標的不派息且僅適用歐式期權;現實有波動率微笑、股息、提前行使等偏離。結果僅供教學與理論估算，期權交易高風險。
計算公式
d1 = [ln(S ÷ K) + (r + σ² ÷ 2) × T] ÷ (σ × √T)。
d2 = d1 − σ × √T。
認購 Call = S × N(d1) − K × e^(−rT) × N(d2)。
認沽 Put = K × e^(−rT) × N(−d2) − S × N(−d1)。
$$d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$$$C = S\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$$$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S\,N(-d_1)$$使用說明
- 輸入標的資產現價 (S) 與期權行使價 (K)。
- 輸入到期年期 (T，如 6 個月填 0.5)、無風險年利率 (r) 與年化波動率 (σ)。
- 查看認購 (Call) 與認沽 (Put) 期權的理論價格。
S = K = HK$100、到期 1 年、無風險利率 5% 下，不同年化波動率對應的期權理論價
| 年化波動率 σ | 認購 Call (HK$) | 認沽 Put (HK$) | 解讀 |
|---|---|---|---|
| 10% | 6.80 | 1.93 | 波動低，期權時間價值小 |
| 20% | 10.45 | 5.57 | 中等波動 (基準情境) |
| 30% | 14.23 | 9.35 | 波動升高，期權價值上升 |
| 40% | 18.02 | 13.15 | 高波動，期權更值錢 |
| 50% | 21.79 | 16.92 | 極高波動，期權價值最高 |
S=100, K=100, T=1, r=5%。可見波動率越高，認購與認沽期權價值都越高 —— 因為波動越大，標的價格『大漲或大跌』突破行使價的機會越大，而期權的下檔損失有限 (最多損失權利金)、上檔潛力大。波動率是期權定價最關鍵的變數。
理財情境案例
案例一：平價期權的理論定價
假設某港股現價 HK$100，投資者考慮一張行使價 HK$100 (平價, at-the-money)、到期 1 年的期權,市場無風險利率 5%、該股年化波動率估計 20%。
計算:d1 = [ln(100/100) + (0.05 + 0.20²/2)×1] ÷ (0.20×√1) = 0.07 ÷ 0.20 = 0.35;d2 = 0.35 − 0.20 = 0.15。N(0.35) ≈ 0.6368、N(0.15) ≈ 0.5596。Call = 100×0.6368 − 100×e^(−0.05)×0.5596 ≈ HK$10.45;Put = 100×e^(−0.05)×N(−0.15) − 100×N(−0.35) ≈ HK$5.57。
結果顯示:即使行使價等於現價 (內在價值為 0),認購期權仍值約 HK$10.45、認沽期權約 HK$5.57 —— 這全是『時間價值』,反映在到期前一年內，股價有機會朝有利方向波動。認購比認沽貴，部分因為無風險利率為正 (持有現金有利息，抬高看漲期權)。這說明期權價格不只看『現在是否賺錢』,更看『未來波動的可能性』。
案例二：價內認購期權 (半年期)
另一情境:標的現價 HK$120、行使價 HK$100 (價內, in-the-money 的認購)、到期 0.5 年、無風險利率 4%、波動率 25%。
計算得 d1 ≈ 1.2329、d2 ≈ 1.0561,Call ≈ HK$23.18、Put ≈ HK$1.20。
認購期權值 HK$23.18，其中約 HK$20 是『內在價值』(現價 120 − 行使價 100),其餘約 HK$3.18 是時間價值。對應的認沽期權因為深度價外 (股價遠高於行使價、不太可能跌破),只值約 HK$1.20，幾乎全是時間價值。這個例子說明:價內認購期權的價格會貼近『現價與行使價之差』,而愈價外的期權價格愈低、但槓桿愈高。投資者要理解，付出的權利金裡有多少是內在價值、多少是會隨時間流逝的時間價值 (time decay)。
常見問題
什麼是 Black-Scholes 模型？它算的是哪種期權？
Black-Scholes 模型 (完整稱 Black-Scholes-Merton 模型) 是 1973 年提出、後獲諾貝爾經濟學獎的期權定價公式，用來計算期權的『理論公允價值』。它只需五個輸入:標的資產現價 (S)、行使價 (K)、到期時間 (T，以年計)、無風險利率 (r) 與標的的年化波動率 (σ),就能算出認購 (call) 與認沽 (put) 期權應有的價格。要特別注意:標準的 Black-Scholes 公式算的是『歐式期權 (European option)』—— 即『只能在到期日當天行使』的期權。而市場上很多股票期權是『美式期權 (American option)』,可以在到期前任何時間行使,這類期權 (尤其是有股息的認購、或價內認沽) 需要用二叉樹 (binomial tree) 等其他模型才能精確定價,Black-Scholes 只能作近似。此外，原始公式假設標的『不派息』;若標的會派息 (如多數股票、指數),需用調整版 (如把現價扣除股息現值，或用 Black-76、Merton 派息模型)。本計算器採用經典的無股息歐式版本，適合理解期權定價的原理與各因素的影響，實際交易請以交易所報價與專業模型為準。
為什麼波動率越高，期權就越值錢？
這是期權定價最核心也最反直覺的一點:無論認購還是認沽期權，只要標的『波動率』越高，期權價值就越高。原因在於期權買方的『回報不對稱』—— 損失有底、獲利無頂 (或很大)。以買認購期權為例:你付出的權利金就是最大損失 (若到期股價低於行使價，期權作廢,你只虧權利金),但若股價大漲，獲利可以很可觀。因此對買方來說，標的價格『波動越劇烈』,大漲突破行使價、帶來巨大獲利的機會就越大,而大跌的額外損失卻被鎖定在權利金 —— 這種『上檔開放、下檔封頂』的特性，令波動本身變成有價值的東西。認沽期權同理:波動越大，股價大跌讓認沽大賺的機會越高，下檔損失仍限於權利金。所以在其他條件相同下，波動率越高，買賣雙方都認為期權更值錢。這也是為什麼市場會從期權價格『反推』出隱含波動率 (implied volatility),把它當作衡量市場恐慌與不確定性的指標 (如 VIX 恐慌指數)。使用本計算器時，你可固定其他參數、只調整波動率，直觀看到期權價格如何隨波動放大。
計算裡的 d1、d2、N(d1)、N(d2) 是什麼意思？
這些是 Black-Scholes 公式的中間量，理解它們有助掌握模型直覺。首先，N(·) 是『標準常態累積分佈函數』,輸入一個數字、輸出 0 到 1 之間的機率值 (可理解為『小於等於該值的機率』)。d1 與 d2 則是把五個輸入標準化後的兩個指標:d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] ÷ (σ·√T),d2 = d1 − σ·√T。它們的直覺意義是:N(d2) 大致可理解為『在風險中性世界裡，期權到期時處於價內 (股價高於行使價) 的機率』;而 N(d1) 則與『若行使，預期能拿到的標的價值比重』有關。認購期權公式 Call = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2) 可以這樣讀:第一項 S·N(d1) 是『到期時預期會收到的標的資產現值』,第二項 K·e^(−rT)·N(d2) 是『到期時預期要支付的行使價的現值』,兩者相減就是認購期權的公允價值。其中 e^(−rT) 是把未來的行使價折現回現在的折現因子。你不需要手算這些,本計算器會自動處理,但知道 N(d2) 約等於『價內機率』、d1/d2 是波動與時間標準化後的距離，能幫你更好地理解期權價格為何隨各參數變動。
無風險利率和到期時間如何影響期權價格？
除了波動率，無風險利率 (r) 與到期時間 (T) 也是重要的驅動因素。先說『到期時間 T』:一般來說，時間越長，期權 (認購與認沽) 的價值通常越高 —— 因為時間越長，標的價格有越多機會朝有利方向大幅波動，這就是『時間價值 (time value)』。反過來，隨著到期日逼近，時間價值會逐漸流失 (稱為時間衰減 time decay),即使標的價格不動，期權也會一天天貶值,這是期權買方要面對的成本。再說『無風險利率 r』:利率上升時，會『抬高認購期權、壓低認沽期權』的價格。直覺是:買認購期權相當於用較少的錢『延後買入』標的 —— 你先付權利金、把買股票的大筆資金留在手上賺利息,利率越高、這個『延後付款』的好處越大，認購越值錢;認沽期權則相反 (延後賣出、延後拿到現金,利率越高越不利)。在本計算器裡，你可以固定其他參數、分別調整 T 與 r，觀察 Call 與 Put 的變化 —— 這正是期權交易者所說的敏感度 (Greeks) 中 Theta (對時間) 與 Rho (對利率) 的直覺。不過在低利率、短年期的情境下，利率的影響通常遠小於波動率。
這個計算器算出的價格能直接拿去交易嗎？和市場報價有落差怎麼辦？
不建議直接把本計算器的結果當成交易價,它算的是『理論公允價值』,與市場實際報價常有落差，原因來自 Black-Scholes 模型的多項理想化假設與現實的偏離。第一，『波動率微笑/偏斜』:模型假設所有行使價共用同一個波動率，但現實中不同行使價、不同到期的隱含波動率並不相同 (深度價外的認沽通常隱含波動率更高，反映市場對崩跌的擔憂),這是模型與市場最大的系統性差異。第二，『股息』:本計算器假設標的不派息,若標的是會派息的股票或指數，實際認購會較便宜、認沽較貴,需用派息調整版。第三，『歐式 vs 美式』:模型算歐式期權，而許多股票期權是可提前行使的美式期權，價值會略高。第四，『無交易成本與完美流動性』的假設,現實有買賣差價、佣金與流動性折讓。第五，波動率本身是『估計值』,你輸入的 σ 不同，結果就大不同 —— 而未來實際波動無人能準確預知。因此，正確的用法是:把本計算器當作『理解期權定價原理、比較各參數影響』的教學工具,以及粗略檢查市場報價是否合理的參考。真正交易時，請以交易所即時報價、券商提供的定價與 Greeks 為準,並充分認識期權的高風險 —— 買方可能損失全部權利金,賣方 (尤其裸賣) 風險理論上無限。本計算器不構成任何投資建議。
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參考資料
內容審核：香港計算器財經團隊。採用經典無股息歐式 Black-Scholes-Merton 公式，標準常態分佈以 Abramowitz-Stegun 近似計算;衍生工具風險資訊參考香港交易所 (HKEX) 及投資者及理財教育委員會 (IFEC)。模型價與市場報價因波動率微笑、股息、提前行使等因素而有差異,結果僅供教學與理論估算，不構成投資建議，期權交易涉及高風險。