期望效用計算器
以效用函數 U(x)=√x 計算兩個不確定結果的期望效用：EU = Σ 機率 × √金額。
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計算結果
重點速覽：期望效用 (expected utility) 是各不確定結果的效用，以其發生機率加權後的總和。本計算器採凹效用函數 U(x)=√x，體現風險厭惡與邊際效用遞減：EU = Σ 機率 × √金額。
計算公式
期望效用 EU = 機率₁ × √金額₁ + 機率₂ × √金額₂。
效用函數 U(x) = √x 為凹函數，體現風險厭惡與邊際效用遞減。
機率以小數計 (如 40% = 0.4)，兩結果機率一般合計為 100%。
$$EU = \sum_i p_i \, U(x_i) = p_1\sqrt{x_1} + p_2\sqrt{x_2}$$使用說明
- 輸入第一個結果的發生機率與金額。
- 輸入第二個結果的發生機率與金額。
- 即時得出以 √ 效用函數加權的期望效用值。
期望效用計算範例 (效用函數 U(x)=√x)
| 情境 | 結果一 (機率×金額) | 結果二 (機率×金額) | 期望效用 EU | 期望值 EV |
|---|---|---|---|---|
| 風險賭局 | 40% × 10,000 | 60% × 20,000 | 124.85 | 16,000 |
| 公平賭局 | 50% × 0 | 50% × 20,000 | 70.71 | 10,000 |
| 確定 16,000 | 100% × 16,000 | 0% × 0 | 126.49 | 16,000 |
EU = Σ 機率×√金額。比較『風險賭局』與『確定 16,000』:兩者期望值同為 16,000，但確定選項的期望效用 (126.49) 高於賭局 (124.85) — 這就是風險厭惡。
理財情境案例
案例一：計算風險賭局的期望效用
假設一個投資有兩種結果：40% 機率得到 10,000 元、60% 機率得到 20,000 元。效用函數為 U(x)=√x。
期望效用 EU = 0.4 × √10,000 + 0.6 × √20,000 = 0.4 × 100 + 0.6 × 141.42 = 40 + 84.85 ≈ 124.85。
對照之下，這個賭局的『期望值 (EV)』= 0.4 × 10,000 + 0.6 × 20,000 = 16,000 元。期望效用 124.85 與期望值 16,000 是兩個不同尺度的量：EV 衡量『平均能拿多少錢』,EU 則衡量這筆不確定收益帶給決策者的『滿足感』,並已把風險態度 (透過凹函數) 納入考量。
案例二：風險厭惡與確定等值
承上，賭局期望效用 EU = 124.85。若把它反推回金額 (求『確定等值』CE)：CE = EU² = 124.85² ≈ 15,588 元。
這代表：對這位 U(x)=√x 的決策者而言，一個『期望值 16,000 元的風險賭局』,帶來的滿足感只等同於『確定拿到 15,588 元』。換言之，他願意放棄 16,000 − 15,588 = 412 元 (風險溢價)，來換取確定性、避開風險。
更極端的例子：一個『50% 拿 0、50% 拿 20,000』的公平賭局，EV 同為 10,000，但 EU = 0.5×0 + 0.5×√20,000 ≈ 70.71，確定等值 CE = 70.71² ≈ 5,000 元 — 遠低於 10,000。凹效用函數把『下檔的痛』看得比『上檔的樂』更重，這正是風險厭惡的數學體現，也是保險、分散投資之所以有價值的根本原因。
常見問題
期望效用和期望值有甚麼分別？
期望值直接對「金額」按機率加權；期望效用則先把金額經效用函數轉為「主觀滿足感」再加權。由於效用函數通常為凹形，期望效用能反映人們對風險的厭惡，而非單純追求最高平均金額。
為甚麼用平方根作為效用函數？
U(x)=√x 是最常用的凹效用函數之一，計算簡單且能體現「邊際效用遞減」：財富越多，每多一元帶來的額外滿足越少。實務上也會採用對數或冪函數等其他形式。
兩個結果的機率一定要加起來等於 100% 嗎？
在只有兩種互斥結果的情境下，機率理應合計為 100%。若你的情境有更多結果，可把各結果的『機率 × √金額』逐項相加，本計算器聚焦於最常見的兩結果情況。
期望效用和期望值 (EV) 有什麼不同？
期望值 (EV) 與期望效用 (EU) 是兩個容易混淆卻本質不同的概念，差別在於『衡量的是錢，還是錢帶來的滿足感』。期望值 (expected value) 是把各種結果的『金額』用機率加權求和，回答的是『平均而言能拿到多少錢』,它是一個客觀的、以貨幣為單位的量 — 例如一個賭局 40% 得 10,000、60% 得 20,000，期望值就是 16,000 元。期望效用 (expected utility) 則是先把每個結果的金額，透過一個『效用函數 U(x)』轉換成『效用 (滿足感)』,再用機率加權求和，回答的是『這筆不確定的收益，平均帶給我多少滿足感』。關鍵在於效用函數通常是『凹』的 (如本計算器用的 U(x)=√x)，這反映了『邊際效用遞減』— 你已經很富有時，多一塊錢帶來的快樂，遠不如你很窮時多一塊錢來得大。正因如此，同一個賭局用兩種方式評估，結論可能不同：期望值只看平均金額，對風險『視而不見』;期望效用則因凹函數的緣故，會『懲罰』不確定性 — 結果越分散 (風險越大)，期望效用被拉得越低。這解釋了一個重要現象：一個期望值為正、甚至很高的賭局，理性的風險厭惡者仍可能拒絕 (因為其期望效用低於現狀)。決策理論認為，人們追求的是『期望效用最大化』而非『期望值最大化』,這才能解釋為什麼人們願意買保險 (期望值為負卻願意買)、為什麼分散投資、為什麼面對大賭注時偏好保守。
為什麼凹效用函數代表『風險厭惡』？
『凹效用函數 ⇔ 風險厭惡』是期望效用理論最核心的洞見，理解它的關鍵在於凹函數『上升得越來越慢』的形狀。所謂凹函數 (如 U(x)=√x)，是指隨著金額 x 增加，效用 U 雖然持續上升，但『每多一塊錢帶來的效用增量 (邊際效用) 越來越小』— 從 0 到 10,000 元帶來的滿足感，遠大於從 10,000 到 20,000 元的滿足感。這個『邊際效用遞減』的特性，直接導致風險厭惡。想像一個公平賭局：50% 機率讓你多賺一筆 W、50% 機率讓你少賺同樣的 W (期望值為 0，不賺不賠)。對凹效用函數而言，『賺到那筆 W』所增加的效用，小於『損失那筆 W』所減少的效用 (因為損失是發生在效用曲線較陡的一段)。兩相加權，這個公平賭局的期望效用是『負』的 — 也就是說，即使期望值為零，承受這個風險本身就會降低你的滿足感，所以理性者會拒絕它、寧可維持現狀，這就是風險厭惡。反映在圖形上：連接賭局兩個結果點的『直線 (代表期望效用)』會落在『效用曲線本身 (代表確定金額的效用) 』的下方，兩者的落差就是風險帶來的效用損失，其對應的金額差就是『風險溢價』(願意付多少錢來擺脫風險)。由此也可推知：如果效用函數是直線 (邊際效用固定)，代表風險中立 (只看期望值);如果是凸函數 (邊際效用遞增)，代表風險偏好 (愛冒險，如買彩券)。因此，效用函數的『彎曲方向與程度』,精準地刻畫了一個人的風險態度。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器財經團隊。計算邏輯與公式參考香港金融管理局（HKMA）及投資者及理財教育委員會（IFEC）之個人理財計算指引，結果僅供參考，實際以相關機構公佈為準。