托里拆利出流速度計算器
輸入孔口以上水頭 h，依托里拆利定律 v = √(2·g·h) 算出理想出流速度，g 取 9.81 m/s²。
輸入資料
計算結果
重點速覽：托里拆利定律（Torricelli's law）描述的是：當容器的側壁或底部開了一個小孔，液體從孔口噴出的速度，只取決於孔口以上的『水頭』h（也就是水面到孔口的垂直高度），而與液體的種類、密度無關。它的公式非常簡潔：v = √(2·g·h)，其中 v 是出流速度（m/s）、g 是重力加速度（9.81 m/s²）、h 是孔口以上的水頭（m）。這個結果來自能量守恆（伯努利方程）：把水面與孔口兩處的機械能相比較，水面處的位能（ρgh）在孔口處轉換為動能（½ρv²），約去密度 ρ 後得 v²=2gh，開方即得公式。一個很直觀的物理意義是：從孔口噴出的水，速度恰好等於一滴水從水面『自由落下』高度 h 所達到的速度——所以孔口出流速度與物體自由落體同理，這也是托里拆利定律最迷人的地方。逐項解釋。h 是『有效水頭』，即水面到孔口中心的垂直距離；水面愈高、水壓愈大，出流愈快。g 為 9.81 m/s²。要特別注意：這個 v 是『理想（無黏、無損）』的出流速度。真實孔口因為水流收縮（射流頸縮，vena contracta）與黏性摩擦，實際流速與流量都比理想值小，工程上要乘上『流速係數 Cv』（約 0.97~0.99）與『收縮係數 Cc』，兩者合成為『流量係數 Cd』（銳緣孔口約 0.6~0.62）。因此實際流量 Q = Cd × A × √(2gh)，而非直接用理想 v 乘面積。舉例，孔口水頭 h = 2 m：v = √(2 × 9.81 × 2) = √39.24 ≈ 6.264 m/s。若孔口面積 A = 0.001 m²、取 Cd=0.62，實際流量約 Q = 0.62 × 0.001 × 6.264 ≈ 0.00388 m³/s。用途：其一，估算貯水池、水塔、灌溉蓄水桶放水孔的出流速度與流量；其二，設計排水孔、溢流孔的尺寸；其三，水鐘、噴泉等裝置的流量控制；其四，教學上示範能量守恆與自由落體的關係。使用托里拆利定律與本工具要注意幾點：一是本工具給的是『理想』出流速度，實際需乘流量係數 Cd；二是要求孔口尺寸遠小於水頭（小孔假設），且水面近似不變（大容器或持續補水）；三是若水位隨放水下降，h 是變化的，排空時間需積分計算；四是 h 用孔口中心到水面的垂直距離，單位為 m。總之，托里拆利出流速度由 v=√(2gh) 給出，等同自由落體速度，是孔口出流與貯水放水估算的基礎公式。
計算公式
托里拆利定律：v = √(2 × g × h)，g = 9.81 m/s²。
h 為孔口以上水頭(m)；v 為理想出流速度(m/s)。
實際流量 Q = Cd × A × v（Cd 流量係數約 0.6~0.62）。
$$v = \sqrt{2\,g\,h}$$使用說明
- 填入孔口中心以上的水頭 h（m）。
- 系統依 v = √(2gh) 算出理想出流速度。
- 如需實際流量，另乘孔口面積與流量係數 Cd（約 0.62）。
不同水頭下的理想出流速度
| 水頭 h (m) | 出流速度 v (m/s) | 備註 |
|---|---|---|
| 0.5 | 3.132 | 低水頭 |
| 1.0 | 4.429 | |
| 2.0 | 6.264 | 本例 |
| 5.0 | 9.905 | |
| 10.0 | 14.007 | 高水頭 |
v 與 √h 成正比：水頭增為 4 倍，出流速度僅增為 2 倍。實際流速須乘流速係數 Cv≈0.97。
理財情境案例
灌溉蓄水桶放水孔估流速
蓄水桶水面到底部放水孔的水頭 h = 2 m。
v = √(2 × 9.81 × 2) ≈ 6.264 m/s（理想值）。
若孔口面積 A = 0.001 m²、Cd = 0.62，實際流量 Q ≈ 0.62 × 0.001 × 6.264 ≈ 0.00388 m³/s。
水頭加倍出流僅加速 √2 倍
同一放水孔，水頭由 h = 2 m 提高到 4 m。
v₂ = √(2 × 9.81 × 4) ≈ 8.859 m/s，為原本 6.264 的 √2≈1.414 倍。
水頭翻倍，出流速度僅增約 41%，說明靠加高水位提升出流的效益是遞減的。
常見問題
托里拆利定律為什麼和水的密度無關？
因為它由能量守恆推得，過程中密度被約掉了。水面處單位體積的位能是 ρgh，到孔口全部轉為動能 ½ρv²，令兩者相等：ρgh=½ρv²，兩邊同時除以密度 ρ，得 gh=½v²，即 v=√(2gh)。密度出現在等式兩邊而互相抵消，所以出流速度只與水頭 h 和重力 g 有關，與液體是水、油或其他都一樣（在理想無黏假設下）。這與自由落體速度和物體質量無關是同一個道理。
算出的速度是真實流速嗎？
不是，v=√(2gh) 給的是『理想（無黏、無損）』出流速度，真實流速會略小。原因有二：一是黏性摩擦使流速打折，用『流速係數 Cv』修正（銳緣孔口約 0.97~0.99）；二是水流通過孔口後會收縮成更小的『縮脈（vena contracta）』，用『收縮係數 Cc』修正（約 0.62）。兩者合成『流量係數 Cd=Cv×Cc』，銳緣孔口約 0.6~0.62。所以實際流量 Q=Cd×A×√(2gh)，比理想值小近四成。本工具給的是理想速度，工程估流量時記得乘 Cd。
水頭 h 要從哪裡量到哪裡？
h 是『自由水面』到『孔口中心』的垂直高度差，也就是作用在孔口上的有效壓力水頭。它不是容器總高，也不是水的總深度，而是孔口以上那一段水柱的高度。若孔口開在容器底部，h 就等於水深；若開在側壁中段，h 只算孔口以上的部分。對較大的孔口，嚴格說上下緣水頭不同，通常取孔口中心的水頭作代表。單位用公尺（m），代入公式即得 m/s 的速度。
放水時水位會下降，公式還適用嗎？
瞬時仍適用——任一時刻的出流速度都由當時的水頭 h(t) 決定：v(t)=√(2g·h(t))。但因為水位隨放水而降低，h 是隨時間減小的變數，出流速度也逐漸變慢。若要算『排空所需時間』或『某時刻的水位』，就不能用單一 h，而要建立體積變化與流量的微分關係（dV/dt = −Cd·A·√(2g·h)）並積分求解。本工具算的是給定水頭下的瞬時出流速度；持續放水的排空過程需另作積分計算。
托里拆利速度和自由落體有什麼關係？
兩者完全相同。物體自由落下高度 h 時，末速度為 v=√(2gh)（由 ½v²=gh 得），這正是托里拆利公式。物理意義是：孔口噴出的水，速度恰等於一滴水從水面自由落到孔口高度所獲得的速度——能量上都是把高度 h 的位能全部轉成動能。這個對應關係讓托里拆利定律很好記，也常被用來在課堂上示範能量守恆：把流體出流問題轉化為熟悉的自由落體問題。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。v = √(2gh)，理想出流速度，實際需乘流量係數 Cd。